Slide - Unidade 2 Análsie de Modelos Dinâmicos - Modelagem e Simulação de Processos 2021-1

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos FEQUI32020 Profº Jader da Silva jader@ufu.br 2º semestre/2020 12/08/2021 a 05/11/2021 Terça-feira: 14h00 Atendimento online: quarta-feira às 15h00 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Unidade 2 Análise de modelos dinâmicos 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 2 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 2) Classificação e análise de modelos matemáticos da indústria de alimentos 2.1) Ordem de modelos Associada á ordem da equação diferencial ou o número de equações diferenciais que compõem o modelo dinâmico. Exemplo (a): Equação diferencial de primeira ordem (modelo de 1ª ordem) A \(\frac{dy(t)}{dt}\) + B y(t) = C f(t) , onde A, B e C constantes e f(t) = A·sen(w·t) Exemplo (b): Equação diferencial de segunda ordem (modelo de 2ª ordem) A_1 \(\frac{d^2x(t)}{dt^2}\) + A_2 \(\frac{dx(t)}{dt}\) + A_3 x(t) = B f(t) , onde A_1, A_2 e A_3 são constantes e F(t) = A 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 3 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 2) Classificação e análise de modelos matemáticos da indústria de alimentos 2.1) Ordem de modelos Associada á ordem da equação diferencial ou o número de equações diferenciais que compõem o modelo dinâmico. Exemplo (c): 2 equações diferenciais lineares de 2ª ordem (modelo de 2ª ordem) A_1 \(\frac{d^2x(t)}{dt^2}\) + A_2 \(\frac{dx(t)}{dt}\) + A_3 x(t) = B f_1(t) B_1 \(\frac{d^2x(t)}{dt^2}\) + B_2 \(\frac{dx(t)}{dt}\) + B_3 x(t) = B f_2(t) , onde todos os coeficientes são constantes, F_1(t) = a (constante) e F_2(t) = t. 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 4 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 2) Classificação e análise de modelos matemáticos da indústria de alimentos 2.4) Modelos lineares As EDs e algébricas que compõem o modelo são todas lineares, ou seja, não contêm nenhum termo não linear, tais como, produtos de variáveis dependentes, variáveis e expoentes ou radicais. Todos os coeficientes são constantes. Exemplo: A\frac{dx(t)}{dt}+Bx(t)=Cf(t)\quad f(t)=at A_1\frac{d^2y(t)}{dt^2}+A_2\frac{dy(t)}{dt}+A_3y(t)=B_1f_1(t)+B_2f_2(t) 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 7 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 2) Classificação e análise de modelos matemáticos da indústria de alimentos 2.5) Modelos não lineares As EDs e algébricas que compõem o modelo contêm, no mínimo, um termo não linear. Nestes casos, este termo contém um coeficiente ou uma função de outra variável dependente do modelo. Exemplos: Modelo 1: A\frac{dx(t)}{dt}+Bf(x, t)=C f_1(t) f(x, t)=k_V\sqrt{x(t)} Modelo 2: A_1\frac{dT(t)}{dt}+A_2k(T, t)c(t)=A_3T_0(t) B_1\frac{dc(t)}{dt}+B_2c(t)=B_2c_0(t) k(T)=k_0\exp\Big(-\frac{E}{RT(t)}\Big) 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 8 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Teremos graficamente um deslocamento de eixos para representar as variações com o tempo das variáveis desvio, podendo inclusive apresentar valores negativos ou positivos. Consequentemente, em t = 0: x̂(t = 0) = x(t = 0) − x_R = x_R − x_R x̂(t = 0) = 0 ỹ(t = 0) = x(t = 0) − y_R = y_R − y_R ỹ(t = 0) = 0 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 13 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Etapa 2: Linearização de todos os termos não lineares das equações diferenciais algébricas que constituem o modelo, e substituição das funções linearizadas já em variáveis desvio, nas equações não lineares originais. Passos: 2.1) Expansão em Série de Taylor de todos os termos não lineares das equações, tomando como ponto de referência os valores de regime estacionário das variáveis e aplicando a série neste ponto. 2.2) Aproximação da série considerando somente os termos lineares da expansão em série, portanto os da primeira derivada. Esta consideração é uma aproximação é válida desde que a região onde for aplicada a expansão seja pequena. 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 14 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Dada f(x), um função não linear, univariável, em ‘x‘, e conhecido o valor correspondente à variável dependente no regime estacionário, f( x = x_R) = f_R a) A Expansão em série é feita em torno ao ponto x_R e correspondente a f_R, será: f(x) = f_R + [df(x)/dx]_{x_R}(x − x_R) + 1/2! [d²f(x)/dx²]_{x_R}(x − x_R)² + ... 29/07/2021 Modelagem e Simulação de Processos 15 Onde: Constantes: k, CAo, V. F(t) variável externa CA(t) variável dependente FR valor de regime para F(t) CAR valor de regime Substituindo as variáveis desvio nos outros termos da equação e o termo linearizado: Lembrando que no regime estacionário: Modelo em variáveis desvio: