Slide - Unidade 3 - Técnica de Linearização de Equações Não Lineares - Modelagem e Simulação de Processos 2021-1

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos FEQUI32020 Profº Jader da Silva jader@ufu.br 1º semestre/2021 29/11/2021 a 02/04/2022 Terça-feira: 14h00 Atendimento online: sexta-feira às 14h00 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Unidade 3 Técnica de linearização de equações não lineares 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 2 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares A técnica de linearização é utilizada comumente para a solução matemática do conjunto de equações diferenciais e algébricas que constituem o modelo dinâmico de um processo. Um dos artifícios utilizados é a definição de novas variáveis do processo, em razão dos desvios relativos em relação ao tempo. A técnica consiste em aplicar as duas etapas a seguir: 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 3 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Etapa 2: Linearização de todos os termos não lineares das equações diferenciais algébricas que constituem o modelo, e substituição das funções linearizadas já em variáveis desvio, nas equações não lineares originais. Passos: 2.1) Expansão em Série de Taylor de todos os termos não lineares das equações, tomando como ponto de referência os valores de regime estacionário das variáveis e aplicando a série neste ponto. 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Etapa 2: Linearização de todos os termos não lineares das equações diferenciais algébricas que constituem o modelo, e substituição das funções linearizadas já em variáveis desvio, nas equações não lineares originais. Passos: 2.2) Aproximação da série considerando somente os termos lineares da expansão em série, portanto os da primeira derivada. Esta consideração é uma aproximação é válida desde que a região onde for aplicada a expansão seja pequena. 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Dada f(x), um função não linear, univariável, em 'x', e conhecido o valor correspondente à variável dependente no regime estacionário, f(ẋ = x_R) = f_R a) A Expansão em série é feita em torno ao ponto x_R e correspondente a f_R, será: f(x) = f_R + \left[ \frac{df(x)}{dx} \right]_{x_R} (x - x_R) + \frac{1}{2!} \left[ \frac{df^2(x)}{dx^2} \right]_{x_R} (x - x_R)^2 + \ldots 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Controle de nível em tanque cilíndrico de raio ‘r’ q_E(t) LT LC h(t) q_S(t) 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Balanço de massa: dV(t)/dt = q_E(t) - q_S(t) Volume no tanque V(t): V(t) = πr²h(t) Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Controle de nível em tanque cilíndrico de raio ‘r’ q_E(t) LT LC h(t) q_S(t) 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Volume no tanque V(t): πr² dh(t)/dt = q_E(t) - q_S(t) onde: A = πr² q_S(t) = k_V √³h(t) Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Exemplo 1: q_S(t) = k_V √³h(t) Substituindo na equação de balanço: πr² dh(t)/dt = q_E(t) - k_V √³h(t) Linearizando o tempo não linear: √³h(t) = √³h_R + d(√³h(t))/dt |_R (h(t) - h_R) √³h(t) = √³h_R + 1/3 1/h_R² (h(t) - h_R) √³h(t) = √³h_R + 1/3 1/h_R² ĥ(t) Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Exemplo 1: q_S(t) = k_V √³h(t) πr² d(ĥ(t) + h_R)/dt = q̂_E(t) + q_R - k_V { √³h_R + 1/3 1/h_R² ĥ(t)} Termos em regime: πr² dh_R/dt = q_E_R - k_V √³h_R Termos em desvio: πr² dĥ(t)/dt = q̂_E(t) - k_V 1/3 1/h_R² ĥ(t) πr² dĥ(t)/dt + 1/3 k_V/h_R² ĥ(t) = q̂_E(t) Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Exemplo 2: Linearizando o 2º termo da equação F_A(t)C_A(t): Lembrando que no regime estacionário: F_R C_A0 - F_R C_A_R - kV C_A = V \frac{dC_A_R}{dt} = 0 Modelo em variáveis desvio: \hat{F}(t) C_A0 - \{ c_{AR} \hat{F}(t) + F_R \hat{C}_A(t)\} - kV \hat{C}_A(t) = V \frac{d \hat{C}_A(t)}{dt} 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos ATIVIDADE ASSÍNCRONA LEITURA: Process Dynamics - Modeling, Analysis and Simulation - B. Wayne Bequette Capítulo 5 Itens: 5.1 ao 5.3 LEITURA/EXERCÍCIOS: Príncipios e Prática do Controle Automático de Processo, 3ª edição - SMITH, Carlos A.; CORRIPIO, Armando B. Capítulo 2 Item: 2.3-1 e 2.6 (com seus subitens) Praticar os exemplos do item 2. Fazer o exercício 2-20 Fazer a linearização do exercício 2-24 22/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Técnica de linearização de equações não lineares Dada uma função f(x,y) não linear das variáveis dependentes ‘x’ e ‘y’, e conhecido o valor da função correspondente ao valor das variáveis no regime estacionário: f(x_R,y_R) = f_R c) Para funções com mais de duas variáveis, dados f(x,y,z) e f(x_R,y_R,z_R)=f_R temos analogamente: f(x,y,z) = f_R + [∂f(x,y,z)/∂x]_xR (x - x_R) + [∂f(x,y,z)/∂y]_yR (y - y_R) + [∂f(x,y,z)/∂z]_zR (z - z_R)