Lista 3 - Modelagem e Simulação de Processos 2020-2

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 1 Segunda lista de exercícios – 31/08/2021 1ª questão Determine a solução das seguintes equações diferenciais com auxílio de uma tabela de transformada de Laplace. 𝑎) ( ) 5 0 dy t y dt − = ( ) 0 2 y = 𝑏) ( ) ( ) 5 5 t dy t y t e dt − = ( ) 0 0 y = 𝑐) ( ) ( ) ( ) dy t y t sen t dt + = ( ) 0 1 y = 𝑑) ( ) ( ) 2 2 4 0 d y t y t dt + = ( ) 0 2 y = ( ) 0 2 y = )e ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 0 d y t dy t y t dt dt − + = ( ) 0 1 y = ( ) 0 5 y = ) f ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 d y t dy t y t t dt dt − − = ( ) 0 1 y = ( ) 0 4 y = ) g ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 8 d y t dy t y t sen t dt dt − + = ( ) 0 1 y = ( ) 0 4 y = ) h ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d y t dy t y t f t dt dt − + = ( ) 0 0 y = ( ) 0 0 y = )i ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d y t dy t y t f t dt dt − + = ( ) 0 0 y = ( ) 0 0 y = )j ( ) 2 0 dy t y dt + = ( ) 0 1 y = 2ª questão Um determinado processo é regido pelo seguinte modelo de equação diferencial: 𝑑3𝑦 dt3 + 5 𝑑2𝑦 dt2 + 8 dy dt + 4y = 2 dx dt + 3x Determine a expressão que relaciona Y(s) e X(s). Considere condições iniciais nulas. Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 2 3ª questão Determine as funções de transferência correspondentes para os modelos dinâmicos descritos pelas equações indicadas: a) Manômetro: 𝐿 2g 𝑑2ℎ(𝑡) dt2 + 16L ρgD2 dh(𝑡) dt + ℎ(𝑡) = 𝑃(𝑡) 2 ρ g b) Reator encamisado M1cP1 dT1(t) dt = FRcPR[TAe(t) − T1(t)] − UA[T1(t) − T2(t)] M2cP2 dT2(t) dt = FcP2[T0(t) − T2(t)] − UA[T1(t) − T2(t)] c) Tanque de nível 𝐹1(𝑡) − 𝑘√ℎ(𝑡) = 𝐴 dh(𝑡) dt d) Tanque pressurizado c dP3(t) dt = F1(t) + F2(t) − F3(t) − F4(t) F1(t) = k1[P1(t) − P3(t)] F2(t) = k2[P2(t) − P3(t)] F3(t) = k3[P3(t) − P4(t)] F4(t) = k4[P3(t) − P5(t)] e) Destilação (um estágio) H dx1(t) dt = F ⋅ xF(t) − B ⋅ x1(t) − D ⋅ xD(t) xD(t) = b ⋅ x1(t) Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 3 4ª questão Determine a resposta temporal x(t) para cada uma das equações a seguir: a) X(s) = s2 + s s3 + 9s2 + 26s + 24 b) X(s) = s2 + 5s + 6 s3 + 15s2 + 74s + 120 5ª questão Em determinados experimentos de laboratório é comum utilizar bombas “afogadas” (bombas colocadas no menor nível do tanque). Esta disposição ajuda evitar o fenômeno de cavitação, aumentando assim a vida útil do equipamento, como mostra a figura: bomba é utilizada para dosar uma quantidade de solução que contém um reagente líquido A, em um processo de separação por membrana (Sistema 2), e fornece uma vazão máxima de 15 mL/min. A tubulação de recalque, a partir do eixo da bomba, possui um comprimento de 1,0 metro e área de seção 0,6 cm2. a) Calcule o tempo necessário para o Sistema 2 começar a receber a primeira gota da solução do Sistema 1, considerando a tubulação de recalque completamente vazia. b) Em Modelagem e Simulação de Processos, qual a função de transferência mais adequada para modelar os Sistemas em questão? Determine a função de transferência. Sistema 1 Sucção Recalque Sistema 2 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 4 6ª questão Dado o diagrama de blocos e as respectivas funções de transferência, determine: 𝐺1(𝑠) = 1 + 3s ( ) 1 0,4s 0,2 G2 s + = ( ) 1 2s 5 G 3 s + = ( ) 1 s 3 G 4 s + = ( ) 1 0,5s 1 G5 s + = a) a resposta C(s)/R(s). b) o novo valor de regime estacionário de C(s) para uma perturbação degrau de amplitude 1,5 em R(s). 7ª questão Para o sistema em malha fechada mostrado no diagrama de blocos, determine a relação entre o sinal de saída C(s)/R(s). G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) G5(s) R(s) E(s) P(s) M(s) C1(s) C2(s) C(s) Cm(s) + - + - 10 + - ( )s R s 1 3 s 5 + C( )s Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 5 8ª questão O procedimento de “start-up” para um reator batelada inclui um passo de aquecimento onde a temperatura do reator é gradualmente elevada até chegar à temperatura nominal de operação de 75oC. A temperatura desejada do perfil T(t) é mostrada no gráfico a seguir. Determine a função T(s). 9ª questão O gráfico a seguir mostra um sinal de entrada em determinado processo. Determine a equação no domínio de Laplace. t (min) 30 75 20 0 T (oC) f(t) 1 5 0 0 2 6 t (min) Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 6 10ª questão Um processo a ser controlado é modelado pela seguinte função de transferência: G(s) = 10 s (s + 2) Desejando reduzir o tempo de resposta do processo, adicionou-se, em série, com o processo um compensador de avanço de fase dado por: H(s) = K(s + 2) s + p Calcule os valores de ‘p’ e ‘K’ para que a configuração em malha fechada do sistema tenha dois polos complexos conjugados em s1,2 = – 4 ± 5i. O diagrama de blocos do sistema é mostrado a seguir: 11ª questão Um termopar possui as seguintes características quando imerso em tanque de mistura: Massa do termopar: 1g Capacidade calorífica do termopar: 0,25 cal/(g oC) Coeficiente de transferência de calor (entre o termopar e o fluido): 20 cal/(cm2 h oC) Área superficial do termopar: 3 cm2. a) determine a função de transferência que relaciona a temperatura do termopar e a temperatura da vizinhança TS. Considere propriedades constantes. b) Considere que o termopar se encontra fora do tanque de mistura na temperatura ambiente de 23oC. Calcule a temperatura máxima que será registrada quando o termopar é mergulhado subitamente no banho que se encontra na temperatura de 80oC e permanecendo no banho por 20 segundos. + - ( )s R G( )s H( )s Y( )s Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 7 12ª questão Veículos com tração nas quatro rodas são populares em regiões onde as condições das estradas no inverno são geralmente escorregadias devido à neve e ao gelo. Um veículo com tração nas quatro rodas com freios antibloqueio utiliza um sensor para conservar cada uma das rodas girando para manter a tração. Um sistema é mostrado na figura a seguir. a) Determine a resposta em malha fechada deste sistema à medida que ele tenta manter uma velocidade constante da roda. b) Determine o desvio final quando R(s) = A/s. 13ª questão Considere o sistema com realimentação representado na figura a seguir: a) Determine a função de transferência em malha fechada T(s) = Y(s)/R(s). b) Para K = 10, 12 e 15, represente graficamente as respostas ao degrau unitário. Determine os erros em regime permanente e os tempos de estabilização para cada valor de K. + - R( )s ( ) ( 15) s s 3 s 5 + + ( )s Y Velocidade da roda + - Y( )s R( )s K Controlador 1 s 1 + Sensor 64 4,5s s 20 2 + + Processo Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 8 14ª questão O controle efetivo de injeção de insulina pode resultar em melhor qualidade de vida para pessoas diabéticas. A injeção de insulina controlada automaticamente por meio de uma bomba e sensor que mede a concentração de açúcar pode ser bastante efetiva. Um sistema de bomba e injeção tem um controle com realimentação como mostrado na figura a seguir: R(s) é o nível desejado de açúcar no sangue e Y(s) é o nível de açúcar real. Um distúrbio provocou uma mudança abrupta (degrau de magnitude ‘A’) em R(s) provocando um desvio final de 0,25. Calcule o valor de ‘A’. 15ª questão A função de transferência G(s) que mostra a relação entre a altura do nível de um tanque e a vazão de entrada de dois tanques em série com interação é dada a seguir: G(s) = H(s) F1(s) = 0,87 5,4s2 + 4,6s + (0,65 + K) Determine, justificando suas respostas: (a) o valor de K para que o coeficiente de amortecimento seja igual a 0,707. (b) a resposta h̑(t) para uma variação degrau de amplitude igual a 0,9 em F̂1(t). (c) o novo valor de regime de ℎ̑(𝑡)para o mesmo degrau acima. + - Y( )s R( )s K Bomba 0 1, Sensor ( )1 s s 2 s + + Corpo humano Nível de açúcar no sangue Nível desejado de açúcar Insulina Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Curso: Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos Prof. Jader da Silva 9 16ª questão No reator abaixo processa-se uma reação de cinética de 2ª ordem em relação a 𝑐𝐴2. O reator é bem agitado e o volume é mantido constante assim como a temperatura do reator. Dados: volume do reator V = 100 L, concentração de A na alimentação 𝑐𝐴1(𝑡) = 8 mol 𝐿 ⁄ , vazão volumétrica F1(t) = F2(t) = 40 L/h, (−𝑟𝐴) = kc𝐴 2. Determine, justificando suas respostas: (a) a equação diferencial que descreve a variação da concentração de saída do reator em função das variáveis perturbação. (b) as funções de transferência que relacionam CA2(s) em função das variáveis perturbação. (c) O valor de CA2(s) 30 minutos após uma variação degrau de 15% em cA1(t). (d) Qual o valor do novo estado estacionário, após o degrau do item c). 17ª questão Uma junção termopar de área A, massa m, capacidade calorífica CP e emissividade E, está localizado em um forno que está a uma temperatura Ti. Nas condições de operação do forno a transferência de calor por convecção e condução podem ser desprezadas comparada com a radiação. A lei de transferência de calor por radiação é dada por: q(t) = 0,173 E A [(Ti(t) 100) 4 − (T0(t) 100 ) 4 ] O balanço de energia na junção é dado por: 𝑚cP dT0(t) dt = q(t) Determine a função de transferência entre a temperatura de junção T0 e a temperatura do forno Ti.