Slide - Revisão Balanço de Massa - Modelagem e Simulação de Processos 2021-1

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Modelagem e Simulação de Processos FEQUI32020 Profº Jader da Silva jader@ufu.br 1º semestre/2021 29/11/2021 a 02/04/2022 Terça-feira: 14h00 Atendimento online: sexta-feira às 14h00 Revisão: Balanço de Massa Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.3) Leis fundamentais: continuidade em massa Balanço de massa total Principio da continuidade de massa total. Volume de controle V definido Regime permanente (ou regime estacionário) e regime dinâmico. a) Regime permanente { {Vazão mássica total }- {Vazão mássica total }=0 { que entra em V } { que sai de V } ❑ 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 3 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.3) Leis fundamentais: continuidade em massa b) Regime dinâmico (ou transiente) { {Vazão mássica total }- {Vazão mássica total }= {Taxa de variação de } { que entra em V } { que sai de V } { massa total em V } ❑ Apenas uma equação de balanço de massa total para determinado volume do sistema. ❑ O termo à direita da equação em RD pode ser uma derivada parcial. Para dinâmica e controle de processos a análise é macroscópica. ❑ 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 4 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.3) Balanço de massa total Exemplos: tanque de nível cilíndrico. F_E(t) h(t) F_S(t) 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 5 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 6 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.3) Balanço de massa total Exemplos: tanque de nível cilíndrico. Balanço de massa total para o tanque: A dh(t)/dt = F_E(t) - F_S(t) F_E: vazão volumétrica de entrada F_S: vazão volumétrica de saída A: área da seção transversal do tanque h(t): altura do nível do líquido A = πr^2 πr^2 dh(t)/dt = F_E(t) - F_S(t) 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.3) Balanço de massa total Exemplos: tanque de nível cônico. Balanço de massa total para o tanque: dV(t)/dt = q_E1(t) + q_E2(t) - q_s(t) q_Ei: vazões volumétricas de entrada q_s: vazão volumétrica de saída A: área da seção transversal do tanque h(t): altura do nível do líquido A(t): área da seção transversal V(t) = 1/3 πr^2(t)h(t) 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.4) Balanço por componentes Dependendo da transformação (química/física) que ocorre no processo (reações químicas, mudanças de fase) a massa dos componentes químicos presentes podem sofrer alterações. a) Regime permanente {Vazão molar do componente A' que entra em V} - {Vazão molar do componente A' que sai de V} = {Taxa molar de transformação de A' em V} = 0 b) Regime dinâmico (ou regime transiente) {Vazão molar do componente A' que entra em V} - {Vazão molar do componente A' que sai de V} ≠ {Taxa molar de transformação de A' em V} = {Taxa molar da variação de A' em V} Exemplo: determinar as equações de balanço por componentes para uma reação química irreversível de 1ª ordem: A → B, cuja a taxa de reação (taxa de transformação) é dada por: (-r_A) = kC_A C_A(t) C_B(t) ρ(t) F_A(t) F_B(t) F(t) C_A: concentração de A C_B: concentração de B F_A: vazão molar de A F_B: vazão molar B ρ: massa específica o = inicial. 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.4) Balanço por componentes a) Vazão mássica total que entra. F0(t)ρ0(t) \(\frac{m^3}{h} \times \frac{kg}{m^3} = \frac{kg}{h}\) b) Vazão mássica total que sai. F(t)·ρ(t) c) Taxa de variação de massa total em V. \(\frac{d\{Vρ(t)\}}{dt} = V \frac{dρ(t)}{dt}\) \(\frac{d\{m^3 \frac{kg}{m^3}\}}{dt} = V \frac{dρ(t)}{dt}\) 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 13 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.4) Balanço por componentes c) Vazão molar do componente A que entra. FA0(t)cA0(t) d) Vazão molar do componente A que sai. FA(t) cA(t) e) Taxa de transformação química do componente A em V. -V(t)k·cA(t) f) Taxa de variação molar do componente A em V \(\frac{d\{V(t)cA(t)\}}{dt} = V \frac{dcA(t)}{dt}\) 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 14 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.4) Balanço por componentes g) Equação de balanço de massa total F0(t)ρ0(t) - F(t)ρ(t) = \(\frac{d\{V(t)ρ(t)\}}{dt}\) h) Equação de balanço do componente A. FA0(t)cA0(t) - FA(t)cA(t) - kV(t)cA(t) = \(\frac{d\{V(t)cA(t)\}}{dt}\) i) Equação de balanço do componente B. FB0(t)cB0(t) - FB(t)cB(t) + kV(t)cA(t) = \(\frac{d\{V(t)cB(t)\}}{dt}\) Verificar a consistência dimensional das equações. 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 15 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos Revisão: Balanço de Energia Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: F_i(t) T_i(t) Substituindo a equação do trabalho na equação diferencial: ┌───────┐ dU(t) │ │ dt = F_i ρ_i U_i - FρU + Q + W_S + F_i P_i - FP ───▶ │ │ │ │ Rearranjando a equação: └───────┘ ───────▶F(t) T(t) dU(t) dt = F_i ρ_i U_i + P_i ρ_i - Fρ U + P ρ + Q + W_S Analisando o termo de pressão: P_i ρ_i ≡ [ N ] [ kg ] m² m³ → P_i ρ_i ≡ [ N ] x [ m³ ] m² → P_i ρ_i ≡ [ N . m ] kg → ≡ [ J ] kg ρ 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 24 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia { Taxa de energia interna, } { Taxa de energia interna, } { Taxa de energia adicionada ou } { Taxa de trabalho realizado } { Taxa de variação de } c cinética e potencial que cinética e potencial que retirada do sistema por pelo sistema sobre o energia cinética entra em V, por convecção, que sai de V, por convecção, convecção, radiação e difusão meio externo e potencial em V radiação e difusão radiação e difusão Em sistemas de Engenharia: Variações de energia cinética e potencial são muito pequenas e/ou desprezíveis. Portanto: variação de energia interna e trabalho realizado → ΔΗ Utilizando: Correlações termodinâmicas para capacidades caloríficas C = C(T) ➔ Constantes em ΔΤ Equação da continuidade de energia simplificada 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 19 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: F_i(t) T_i(t) ┌───────┐ d{E} │ │ dt = F_i ρ_i(E) - Fρ(E) + Q + W_T │ │ ───▶ │ │ │ │ └───────┘ ───────▶F(t) T(t) ︸ ︸ O trabalho total realizado no sistema (W_T) é dado pelo trabalho de eixo (agitação) e a energia adicionada ao fluido no interior do tanque, assim: W_T = W_S + F P_i - FP 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 23 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: Fi(t) Ti(t) F(t) T(t) Assumindo que: \frac{P_i}{\rho_i} = P_i V_i Sendo o volume por unidade de massa. da termodinâmica temos que: H = U + PV \quad ou \quad H = U + \frac{P}{\rho} Substituindo na equação de balanço: \frac{dH}{dt} - \frac{d(PV)}{dt} = Fi \rho_i \bar{H_i} - F \rho \bar{H} + Q + W_s 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: Fi(t) Ti(t) F(t) T(t) d(PV)/dt = P dV/dt + V dP/dt Se o volume é constante, a pressão não varia (líquidos incompressíveis), então: d(PV)/dt = P dV/dt + V dP/dt = 0 Assim, a equação final para o balanço térmico é dada por: dH/dt = Fi \rho_i \bar{H_i} - F \rho \bar{H} + Q + W_s 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: Fi(t) Ti(t) F(t) T(t) dH/dt = Fi \rho_i \bar{H_i} - F \rho \bar{H} + Q + W_s RESUMO: Para a obtenção da equação do balanço de energia foram realizadas as seguintes considerações: □ Volume constante; □ Energias cinética e potencial desprezadas; □ Produto PV desprezado. 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: Fi(t) Ti(t) F(t) T(t) A entalpia total da corrente pode ser calculada: H(T) = \rho V \bar{H(T)} Considerando que não há mudança de fase e uma temperatura de referência (T_ref), a entalpia por unidade de massa pode ser calculada: \bar{H(T)} = \int_{T_ref}^{T} C_P(T)dT Considerando uma corrente de entrada e uma de saída, C_P constante e integrando: H(T) = \rho VC_P(T - T_ref) H_i(T) = \rho VC_P(T_i - T_ref) Substituindo na equação de balanço em termos de entalpia: 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: Para que o volume seja constante, a vazão de entrada deve ser igual a de saída, assim: Fi = F. Considerando que a massa específica é constante no intervalo de temperatura, a equação de balanço pode ser reescrita: ρ VCP d(T - Tref)/dt = F ρCP{(Ti - Tref) - (T - Tref)} + Q + WS 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 31 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: Considerando que Tref é constante: d(T - Tref)/dt = dT/dt A equação de balanço pode ser reescrita: ρ VCP dT/dt = F ρCP(Ti - T) + Q + WS Dividindo a equação por ρVCP: ρ VCP dT/dt / ρ VCP = F ρCP / ρ VCP (Ti - T) + Q / ρ VCP + WS / ρ VCP 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 32 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Balanço de energia: Cancelando os termos, temos a equação de balanço final: dT(t)/dt = F/V (Ti(t) - T(t)) + Q(t)/ρVCP + WS(t)/ρ VCP Para que o problema seja solucionado, deve-se especificar os parâmetros V, ρ CP, as entradas F, Q e Ti e a condição inicial T(0). 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 33 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia a) Taxa de entalpia que entra em V. F₀(t) ρ₀(t) CP₀(t) T₀(t) ➔ { m³ } { kg } { J } {K} ≡ { J } s m³ kg K s b) Taxa de entalpia que sai de V. F(t) ρ(t) CP(t) T(t) c) Taxa de calor fornecida a V por condução. +QA(t) d) Taxa de calor perdida por condução ao meio externo. −QR(t) e) Taxa de variação de entalpia em V. d(V(t)ρ(t) CP(t) T(t)) dt 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 37 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.5) Leis fundamentais: continuidade em energia Considerando as capacidades caloríficas constantes para a faixa de temperatura estudada: F₀(t)ρ₀(t)cP₀(t)T₀(t) − F(t)ρ(t)cP(t)T(t) +QA(t) − QR(t) = d{ρ(t)V(t)cP(t)T(t)} dt Sabendo que: H₀(t) = cP₀(t)T₀(t) e H(t) = cP(t)T(t) F₀(t)ρ₀(t)H₀(t) − F(t)ρ(t)H(t) +QA(t) − QR(t) = d{ρ(t)V(t)H(t)} dt 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 38 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.6) Estudo de casos: balanço de massa e energia Balanço de energia: em sistemas fechados Escala: registro da variação da temperatura Solução dT(t) = F (Ti(t) − T(t)) + Q(t) + WS(t) dt V ρ V cP ρ VcP Transfere ou absorve energia Fluido Bulbo Massa Capacidade calorífica Escala: registro da variação da temperatura 26.7 dT(t) = F (Ti(t) − T(t)) + Q(t) + WS(t) dt V ρ V cP ρ VcP Transfere ou absorve energia Fluido Bulbo Massa Capacidade calorífica Escala: registro da variação da temperatura 26.7 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 39 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.6) Estudo de casos: balanço de massa e energia Balanço de energia: em sistemas fechados Solução: Hipóteses: Propriedades constantes Sistema fechado Não há perdas de energia Transporte de energia por convecção: Q_convenção(t) = hA(T_F(t) - T(t)) Toda energia envolvida transferida por convecção para o bulbo: Q_termômetro(t) = m_c_p dT(t)/dt Para um sistema fechado: Q_termômetro(t) = Q_convecção(t) dT(t)/dt + hA/m_c_p T(t) = hA/m_c_p T_F(t) m_c_p dT(t)/hA dt + T(t) = T_F(t) 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 43 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Química Engenharia de Alimentos 1) Introdução: modelagem de processos da indústria de alimentos 1.4) Balanço por componentes ATIVIDADE ASSÍNCRONA LEITURA: Capítulo 2 Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar, Duncan A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. 3rd Edition, John Wiley & Sons. PESQUISA: Pesquisar diferentes geometrias de tanques, (em escala industrial) utilizados na indústria de alimentos. 08/12/2021 Modelagem e Simulação de Processos 44