Questões - Modelagem e Simulação de Processos 2021 1

Questão 1) O escoamento de um fluido em uma tubulação implica em perda de energia. Isto se deve, principalmente, ao atrito do fluido com a superfície interna da parede do tubo ou com turbulências oriundas do escoamento do fluido. Para mensurar esta perda de energia, a literatura utiliza o fator de atrito (f), sendo que a relação mais empregada para essa finalidade é a equação de Colebrook-White, proposta em 1939 e definida como: 1 / \sqrt{f} = -2\ln\left(\frac{k}{3,7 D} + \frac{2,51}{Re \sqrt{f}}\right) \quad \quad (1) em que k é a rugosidade, D é o diâmetro interno da tubulação e Re é o número de Reynolds. Sabendo que o fator de atrito é adimensional, qual deve ser a condição para que a equação de Colebrook-White seja consistente dimensionalmente? Este modelo é linear ou não linear? Justifique a sua resposta (20 pontos). Questão 2) Considere o processo em que o componente A é convertido em um determinado produto em dois reatores CSTR em série, conforme ilustrado na Fig. 1. Nesta figura, F_e é a vazão de alimentação (volumétrica), C_{Ae} é a concentração de A na alimentação do primeiro reator, k_i (i=1,2) é a constante de reação, V_i (i=1,2) é o volume de líquido reacional e C_{Ai} (i=1,2) é a concentração de A em cada reator. Considerando que o volume reacional é constante e que as taxas de reação são iguais k_1 C_{A1} (reator 1) e k_2 C_{A2} (reator 2), determine: i) os balanços de massa para o componente A para o sistema apresentado - neste caso pode-se assumir que o coeficiente estequiométrico com relação ao componente A é igual a unidade - (20 pontos); e ii) o modelo linearizado sabendo que as concentrações no estado estacionário são C_{A1e} e C_{A2e}, respectivamente - neste caso não é necessário determinar os estados estacionários, i.e.; use C_{A1e} e C_{A2e} - (10 pontos). Figura 1: Reatores CSTR em série. Questão 1) Em várias aplicações em engenharia química a hipótese de mistura perfeita é utilizada no desenvolvimento de modelos. Na prática, qual a vantagem da aplicação desta hipótese? Em que situações o uso desta hipótese configura um erro grave? (10 pontos). Questão 2) Matematicamente, os fenômenos observados na natureza podem ser representados por expressões com diferentes níveis de complexidade. Neste contexto, pode-se encontrar modelos algébricos, diferenciais, integro-diferenciais, entre outros. Em sua opinião, o que faz com que um mesmo fenômeno possa ser representado por diferentes modelos? (10 pontos). Questão 3) Considere um reator bioquímico em que o consumo de substrato (x_2) promove o crescimento de biomassa (x_1), e consequentemente, a formação de produto (x_3) conforme o seguinte modelo matemático: dx_1/dt = (\mu - D)x_1 \quad \quad \quad \quad (1) dx_2/dt = D(x_p - x_2) - \frac{x_1 \mu x_1}{Y} \quad \quad (2) dx_3/dt = -Dx_3 + (\alpha + \beta)x_1 \quad \quad \quad \quad \quad (3) em que t é o tempo de operação, Y é o rendimento (0,4 g_X/g), \beta é uma constante cinética (0,2 h^{-1}), D é a taxa de diluição (0,202 h^{-1}), \alpha é o rendimento específico (2,2 g_X/g), e x_p é a concentração de alimentação de substrato (20 g/L). A taxa específica de crescimento (em função das concentrações de substrato e produto) é dada como: \mu = \mu_{max}(1 - \frac{x_3}{P_{max}})\frac{x_2}{k_m + x_2 + k_1 x^2_3} \quad \quad \quad \quad \quad (4) em que P_{max} é a produtividade máxima (50 g_X/L), k_1 é uma constante cinética (0,04545 L/g), \mu_{max} é a taxa de crescimento máxima (0,48 h^{-1}) e k_m é uma constante (1,2 g/L). Sabendo que o conjunto x_e=5,096 g/L, x_{2e}=5,011 g/L e x_{3e}=19,128 g/L é um estado estacionário do modelo acima, avalie se o mesmo é estável ou não. (30 pontos).