Exercícios - Modelagem e Simulação de Processos 2021-1

Modelo 1 Questão 1) Um engenheiro está testando um novo formato de tanque que é constituído por dois cones concêntricos, a saber, um externo e um maciço (representado em escala de cinza), conforme a Fig. 1(a). O cone externo é caracterizado por um ângulo α com relação à vertical e o cone maciço é caracterizado por um ângulo γ com relação à vertical, conforme a Fig. 1(b). [Imagem] (a) Tanque em análise. (b) Ângulos. Figura 1: Esquematização do tanque considerado. Admitindo que ambos os cones têm altura máxima igual a H, que o líquido está contido entre os dois cones (não existe líquido dentro do cone maciço) e que seja verdadeira a hipótese de mistura perfeita, determine: • o volume do líquido (V) dentro do tanque em função da altura (h). Apresente todos os passos empregados para essa finalidade (25 pontos); • a expressão para dh/dt sabendo que todas as densidades (ρ) podem ser consideradas constantes e que existe uma única vazão de saída (Fs), definida como sendo igual a β√h, em que β tem unidade igual a (kg m^−0,5)/s. Para este caso considere η(h) = h0 (10 pontos); • o balanço de massa individual (concentração da espécie A) sabendo que acontece uma reação em que o componente A é transformado em B para uma constante de reação (k) com unidade igual a m^(3/s mol) (os coeficientes estequiométricos para esta reação são iguais a nA e nB, respectivamente). Para este caso considere que a mesma vazão do item anterior, que as densidades podem ser consideradas todas constantes, a hipótese de mistura perfeita e que CA(0) = CA0 (10 pontos); • o número de graus de liberdade do sistema completo (5 pontos). Questão) Considere um fluido escoando em um cilindro isolado (na direção do eixo z), para o qual em x = 0 tem-se uma resistência elétrica, empregada para manter a temperatura constante (T0). Para a modelagem do sistema em análise são consideradas as seguintes hipóteses: i) o perfil de velocidade é aproximadamente constante e plano; ii) o tubo é muito longo (todos os possíveis efeitos de borda - entrada ou saída - são insignificantes); iii) o tubo é perfeitamente isolado; iv) propriedades físicas constantes; v) não existe nenhuma dissipação de energia devido ao atrito; vi) no instante inicial, o fluido está a temperatura uniforme e igual a TB. Baseando-se nestas hipóteses, o balanço de energia que representa a variação de temperatura ao longo do cilindro é dado pela seguinte equação: ρCP (∂T/∂t + vz ∂T/∂z) = λ ∂^2T/∂z^2 (1) T(0, x) = TB, 0 < x < L (2) T(t, 0) = T0, t > 0 (3) T(t, ∞) = TB, t > 0 (4) em que t é a coordenada temporal, z é a coordenada espacial, T é a temperatura, ρ é a densidade, CP é a capacidade calorífica, λ é a condutividade térmica, vz é a componente de velocidade na direção de z, TB é temperatura inicial no cilindro e T0 é temperatura do cilindro na extremidade x=0. Pelo fato do cilindro ser longo, em z = ∞ a temperatura do fluido tende a se igualar a temperatura TB. a) Adimensionalize o modelo acima considerando os seguintes grupos (15 pontos): Ψ = T − TB / T0 − TB τ = vz^2 ρCp t / λ ξ = vz ρCp z / λ Apresente todos os passos empregados durante o processo. b) O que aconteceria com o modelo adimensional se a equação diferencial dada pela Eq. (1) fosse substituída pela apresentada na Eq. (8)? (10 pontos): ρCP (∂T/∂t + vz ∂T/∂z) = ∂/∂z ( λ(T)∂T/∂z ) (8) Apresente todos os passos empregados durante o processo. Questão) Considere um reator CSTR onde acontecem reações em série e em paralelo para obtenção dos produtos C e D, descritas como segue: 2A ↔ B ↔ C (1) 2A → D (2) Considerando as propriedades físicas constantes; o volume do reator constante; que não existe mudança de fase; que o processo é isotérmico; mistura perfeita; que as vazões (volumétricas) do reator são consideradas constantes; que a reação é de primeira ordem de B para C e de segunda ordem de A para B e de A para D e que apenas o componente A é alimentado ao reator; o modelo que descreve a dinâmica do processo é dado por: dCA/dt = F/V (CA0 − CA) + k1CB^2 − k2CA^2, CA(0) = CA0 (3) dCB/dt = F/V (CB0 − CB) + k2CA^2 − k3CB, CB(0) = CB0 (4) dCC/dt = F/V (CC0 − CC) + k3CB, CC(0) = CC0 (5) dCD/dt = F/V (CD0 − CD) + k4CA^2, CD(0) = CD0 (6) em que t é o tempo; CA, CB, CC e CD são as concentrações dos componentes A, B, C e D, respectivamente; F e V representam a vazão e o volume do sistema, respectivamente; CA0, CB0, CC0 e CD0 representam as concentrações na corrente de alimentação dos componentes A, B, C e D respectivamente; k1 é a constante de reação (j = 1, 2, 3) e CA0. CCB0 e CCC0 são as concentrações iniciais dos componentes A, B, C e D dentro do reator, respectivamente. Sabendo que k1=5/min, k2=5/3 min^−1, k3=1/6 litros/(mol min), CA0=10 mol/litro, CB0=CC0=CD0=0 mol/litro, V=1 litro e F=4/7 litro/min, determine a condição do estado estacionário (5 pontos) e o modelo linearizado (10 pontos). É obrigatório apresentar todos os passos empregados para a resolução deste estudo de caso. A omissão de um ou mais passos resultará na redução da nota. Questão) Considere um processo que é descrito pelas curvas A e B, conforme a Fig. 1. O que você pode afirmar sobre esse processo? (10 pontos). [Imagens] Figura 1: Processo descrito pelas curvas A e B. Modelo 2 Questão 3) Considere uma reação química em que os componentes A, B e C são relacionados conforme a seguinte relação: k1 B ↔ k3 C k3 k2 (1) em que kj representa a j-ésima constante de reação (j=1, 2, 3, 4). OBS: k1 e k3 representam as constantes relacionadas com as reações diretas (de A para B e de B para C, respectivamente) e k2 e k4 representam as constantes relacionadas com as reações inversas (de B para A e de C para B, respectivamente). Sabendo que o volume reacional é constante durante todo o processo, tem-se o seguinte balanço de massa: dCA/dt = −k1CA + k2CB, CA(0) = CA0 (2) dCB/dt = k1CA − k2CB − k3CB + k4CC, CB(0) = CB0 (3) dCC/dt = k3CB − k4CC, CC(0) = CC0 (4) em que CI representa a concentração da i-ésima espécie em um tempo genérico t (i = A, B, C) e CI0 representa a concentração inicial da i-ésima espécie. A partir do que foi apresentado: • determine, considerando o equacionamento acima, as hipóteses que foram utilizadas para a obtenção do mesmo (justifique a sua resposta) (15 pontos); • avalie a necessidade de se linearizar o referido modelo (justifique a sua resposta) (15 pontos). Questão 4) Em um modelo diferencial empregado para representar um dado fenômeno em engenharia química, em que situação é plausível aplicar o conceito de estado estacionário? (justifique a sua resposta) (20 pontos). Modelo 3 Questão 1) Determine o volume em função da altura do líquido contido no sólido apresentado na Fig. 1 sabendo que a base do mesmo é quadrada (30 pontos). [Imagem] Figura 1: Tanque em análise. Questão 2) Considere um modelo de um processo descrito pela seguinte equação: dxi/dt = ϕi, xi(0) = xi0 (1) em que xi é o conjunto de variáveis dependentes, t é o tempo, ϕi é uma função, xi0 é o conjunto de condições iniciais. Determine o número de graus de liberdade do sistema nos seguintes casos justificando a sua resposta: • o contador i é igual a 1, portanto φi é igual a x1 e xi(0) = x10 (5 pontos); • o contador i varia de 1 até N, portanto φi é igual a xi e xi(0) = x10 (5 pontos). Questão 3) O modelo que representa a transferência de calor em uma aleta retangular é dada pela seguinte relação: d 2 T dx 2 = Ω(T − Ta) (2) T (ξ = 0) = T1 (3) dT dx (ξ = 1) = 0 (4) em que ξ é a coordenada espacial (0 ≤ ξ ≤ 1) e T é a temperatura, Ω é um parâmetro que relaciona coordenadas geométricas e parâmetros termo-físicos, Ta e T1 representam as temperaturas ambiente e da parede no qual a aleta está fixada, respectivamente. Para este modelo, qual é a condição de estado estacionário? Justifique a sua resposta (10 pontos). Questão 1) Considere um reator bioquímico em que o consumo de substrato (x2) promove o crescimento de biomassa (x1) e, consequentemente, a formação de produto (x3) conforme o seguinte modelo matemático: dx1 dt = (µ − D)x1 (1) dx2 dt = D(xF − x2) − µx1 Y (2) dx3 dt = −Dx3 + (αµ + β)x1 (3) em que t é o tempo de operação, Y é o rendimento (0.4 g/g ), β é uma constante cinética (0.2 h −1 ), D é a taxa de diluição (0.02 h −1 ), α é o rendimento específico (2.2 g/g ), e xF é a concentração de alimentação de substrato (30 g /L ). A taxa específica de crescimento (em função das concentrações de substrato e produto) é dada como: µ = µmax (1 − x3/Pmax)x2 km + x2 + k1x 2 2 (4) em que Pmax é a produtividade máxima (50 g/L), k1 é uma constante cinética (0.04545 L/g), µmax é a taxa de crescimento máxima (0.48 h −1 ) e km é uma constante (1.2 g/L). Sabendo que o conjunto x1ee=5,996 g/L, x2ee=5,011 g/L e x3ee=19,128 g/L é um estado estacionário do modelo acima, determine o modelo linearizado (30 pontos). Questão 2) Em engenharia, a complexidade de um modelo é função das hipóteses consideradas durante a for- munlção do mesmo. Em se tratando de um tanque em que acontece uma reação química, como você poderia transformar um modelo que, naturalmente é transiente e tri-dimensional em um puramente transiente? Justi- fique a sua resposta (10 pontos). Questão 3) Ao se trabalhar com variável desvio podemos encontrar um perfil negativo devido a subtração de dois número positivos. Em que outro tipo de abordagem vista em sala de aula também pode-se encontrar um perfil negativo em um problema físico em que todas as variáveis são positivas? Justifique a sua resposta (10 pontos).