Lista 20 - Integrais Trigonométricas - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-1

Universidade Federal do Rio de Janeiro Ke INSTITUTO DE MATEMATICA _ Wh) ee DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Spey Calculo 1 — 2021-1 Lista 20 - Integrais Trigonométricas Exercicio 1. Calcule as seguintes integrais. (a) [esto dx (b) [oe sen?(a) dx (c) [s%o) cos*(x) dx (d) [eto dz (e) i) dx (f) [xo sec*(x)dx (g) [rxto) sec(a)dx (h) [oo dx (i) / Jsen(a) cos? (x) dx (j) / (te(x) +.cotg(r))’dx (Kk) / pols da — sen(x te?(x) —1 2 sec(x) (1) [So (m) JC + Veos(r)) sen(x) dx (n) [an dx Exercicio 2. Calcule 0 volume do sdlido de revolugao obtido girando-se em torno do eixo y = 0 a regiao delimitada pelo eixo x, 0 grafico de y = cos?(x) e as retas r = 0 e & = 2r. Exercicio 3. Calcule 0 volume do sdélido de revolugao obtido girando-se em torno do eixo y = —1 a regiao delimitada pelo eixo x, 0 grafico de y = tan(x) e as retast=Oer=7/4. Exercicio 4. Uma particula se desloca sobre o eixo x de tal forma que sua aceleracao no instante t é a(t) = sen?(t) cos(t) m/s”. No instante t = 0 a partfcula esta na origem do eixo x e sua velocidade é 10 m/s. Determine sua posigao em cada instante t. Exercicio 5. A eletricidade residencial é fornecida na forma de corrente alternada cuja amplitude varia de —155 V a 155 V na forma de onda senoidal de 60 ciclos por segundo (Hz), isto é, E(t) = 155 sen(120zt), onde t é 0 tempo em segundos. Os voltimetros leem a voltagem RMS (raiz da média quadratica), que significa raiz quadrada do valor médio de E(t)? em um ciclo, isto 6, Lt 1/2 = | E(t) dt ; L Jo No caso residencial, a voltagem RMS é dada por 1/60 1/2 RMS = 155 oo [ sen” (120rt) dt . 0 (a) Calcule a voltagem RMS da corrente residencial. (b) Muitos fornos elétricos requerem a voltagem RMS de 220 V. Calcule a amplitude A necessdria para esses fornos. T 5 4 3 2 Exercicio 6. Alguém me garantiu que / coe" (e) sen" (x) cos" {e) sen’ (e) costs) sent) dx = 0. E verdade! x x Por qué? 1 Respostas: Exercicio 1. 1 (a) sen(a) — 3 sen? (x) + C (b) tos en(4z) + C gt ~ 3 sent4e 1 1 (c) 5 cos” (a) — 3 cos?(x) + C (4) 2x —=sen(2xr) + = sen(4x) + C gt — 7 sen(2z) + 35 sen(4e (e) tan(a) + : tan? (x) + : tan? (x) + C 1 (f) i tan* (2) +C 1 2 (g) 5 sec?(x) — 3 sec? (x) + sec(x) + C (h) : tan? (x) — tan(7) +}a+C 2 2 (i) /sen(x) G sen(ax) + 7 sen®(e) +C (j) tan(a) — cotg(x#) + C 1 (k) In 65 = 5) +C 1 (1) = 3 sen(27) + C 4 1 (m) —cos(x) (1 + 3 V cos(2) +5 cox(n) +C 1 2 (n) 5 sec?(x) — 3 sec?(x) + sec(x) + C 2 Exercicio 2. ~ 72 Exercicio 3. 7 + ln(2) — 7 ss 13 1 2 Exercicio 4. x(t) = 9 °° (t) — 3 cos(t) + 10¢ + 9 1 2 Exercicio 5. (a) 166v2 ~ 109, 6; (b) A = 200V2 ~ 282, 8. 2