Lista 9 - Diferenciais e Aproximações Lineares - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-1

Universidade Federal do Rio de Janeiro f Ki a INSTITUTO DE MATEMATICA ea? ely DEPARTAMENTO DE MATEMATICA _ Calculo 1 — 2021-1 Lista 9 - Diferenciais e Aproximacoes Lineares Exercicio 1. Encontre a aproximacao linear para a fungao f numa vizinhanca do ponto indicado: (11) P(e) = (1-2), a = 0: (1.2) f(x) =sen(x), a = 0; (1.3) f(x) = Jz, a=4. Exercicio 2. Encontre a diferencial dy de: (2.1) y =sen(x?); (2.2) y = tan(v*). Exercicio 3. Para as funcgoes abaixo, calcule Ay e dy para os valores de x e dx = Ax dados: (3.1) y= 2a -—27,2=2edr= Ax =—0,4; (3.1) y=2/t,a=4edr=Ar=1,; (3.1) y= 2/4, 7 =4e dx = Ax = 0,2. Exercicio 4. Sejam a,b € R, a >0e |b| < a (isto é, |b] muito menor que a). Usando diferenciais, mostre que: b (4.1) Va?+bx2 a+ Da? a b (4.2) Ja + b Fat 342" a Obs. Se w é uma medida com erro mdéximo Aw, define-se 0 erro médio (ou erro relativo) por A Aw/w eo erro percentual r%, onde r = av x 100. Por aproximagao, os erros médio e percentual w sao aproximados por dw/w e dw/w x 100, respectivamente. Exercicio 5. O periodo de oscilacéo de um péndulo é dado pela férmula T = \/L/g, onde L é o comprimento da haste e g a aceleracao da gravidade. Usando diferenciais, determine: (5.1) o erro na medida de L que acarreta um erro aproximado de 1% na medida de T; (5.2) o erro na medida de g que acarreta um erro aproximado de 1% na medida de T; 1 Exerc´ıcio 6. Um empres´ario encomendou de um fabricante de equipamentos de a¸co uma esfera de raio 12cm. O fabricante entregou-lhe uma esfera com as seguinte informa¸c˜oes: “esfera de a¸co polido com raio r = 12± 0, 06 cm” (isto ´e, com erro m´aximo de 0,06 cm para mais ou para menos). Qual a margem aproximada de erros do volume e da ´area da esfera recebida? Exerc´ıcio 7. A intensidade da for¸ca necess´aria para arrastar uma caixa de M Kg sobre uma superf´ıcie horizontal puxando-a com uma corda com ˆangulo θ (veja figura) ´e dada por F(θ) = µM µ sen(θ) + cos(θ), onde µ > 0 ´e uma constante denominada coeficiente de fric¸c˜ao. Use aproxima¸c˜oes de primeira ordem (aproxima¸c˜ao linear) para estimar a for¸ca necess´aria para arrasar uma caixa de 40kg, sabendo que µ = 0, 2 e que a corda faz um ˆangulo de θ = 46◦ em rela¸c˜ao `a horizontal. θ F(θ) Respostas Exerc´ıcio 1. (1.1) f(x) ≈ 1 − 3x; (1.2) f(x) ≈ x; (1.3) f(x) ≈ 1 4x. Exerc´ıcio 2. (2.1) y = 2x cos(x2) dx; (2.2) y = sec2( √ t) 2 √ t dt. Exerc´ıcio 3. (3.1) ∆y = 0.64, dy = 0.8; (3.2) ∆y = −0.1, dy = −0.125; (3.3) ∆y = −0.0238, dy = −0.025. Exerc´ıcio 5. (5.1) ∆L ≈ 2L 100 ⇒ 2% na medida de L; (5.2) ∆g ≈ 2g 100 ⇒ 2% na medida de g. Exerc´ıcio 6. ∆V ≈ ±109 cm3; ∆A ≈ ±18.08 cm2. Exerc´ıcio 7. F(46) ≈ 20 √ 2 3 + 10 √ 2 9 π 180. 2