Lista - Integrais Impróprias - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-2

Instituto de Matematica - UFRJ (> CAlculo I | is Ce) ‘eg IM Integrais Improprias UFRJ Exercicio 1: Calcule a integral, se ela convergir: 2 cosa wt a" (g) | e “sent dt (a) [ V1 —senzr * 0 ~~ Inax oo (b) / > (h) | ell de 0 —Co d (c) / a 9 1? — 3442 (i) [ x d i —— dr 0, 0 Vl-a? (d) | ze” dx 7 3 2 x 0 Se d J / dx ©) | "de “) 1 V2? —1 —oo (x _ 8)3 oo 1 1 1 ——— k —d | soe a) f Tae Exercicio 2: t (a) Para cada t > 0, calcule | x dx -t t (b) Calcule tim | x dx too J_4 (c) Podemos dizer que a integral | x dx é convergente? Por qué? xercicio 3: Determine os valores de k para que x) dx = 1em que f é E icio 3: D ] de k f(a) d 1 fé dada por: ~ (a) f(z) =e" (b) f(x) =k, se |x| <5 e f(x) =O se |z| >5 (c) f(x) =kx?, se |x] <1e f(x) =O se |2| >1 Exercicio 4: +00 (a) Determine L(s) = | e" dt para s > 0. 0 +00 (b) Determine L(s) = | te dt para s > 0. 0 Exercicio 5 Usando critérios de comparagao, determine se as integrais a seguir sao convergentes ou divergentes: Fr 3a FO 345% —— d ——d (a) [ we+7 . (©) / x * +00 1 b ————.— d o) | oo + 80° +2243" Respostas 1. (a) z b 2 COS & COs & b —————_ dx = lim | ——_ dx = lim —2V1-—senz | [ V1l—senx bz Jo V1 —senz baa- 0 = lim 2—2V1-—senb=2. b>57 (b) © | °] In? x6 In” b / oY de = iim | oY dx = lim =| = lim —— —0=oo. 1 x boo 1 x boco «2 1 boco 2 A integral impropria diverge. (c) [ dx i [ dx i [ 1 1 d ———— = lim ——— = lim — — ——_ «9 @-— 8442 as-w), 27-3442 av-wlJ, |xa-2 axr-1 . 0 x4 —2 0 = lim [in |e — 2| Info ~ 1) = lim nfo a——oo a a——co x-1 a —2 1-2 = lim |In2—lIn oe | lim |In2—I1n 1~2/a a——oo a—1 a——oo 1- 1/a =In2—-lInl =I1n2. (d) Como 0 0 —x? 0 —a? / re” dx = lim / re” dx = lim -——| = lim ec" t_! _ a—oo J, a——oo 2 la avr-o 2 2 2 e oo b —22 1p a2 | re” dx = im re” dx = lim -<—| = lim — ©— = t 0 boo 0 b> 00 2 0 b-+00 2 2 2 temos °° 2 ° 2 °° 2 1 1 / ze” a= f ze” ac+ | ze” dxr=—-~=+-—=0. —oo —oo 0 2 2 (e) 0 0 d d 0 | “de = lim / “dr = lim B(x —8)3| —oo (x — 8)3 a>—oo Jy (x — 8)3 a—>—oo a = lim ~3 _3(q—8)3 = +00. a>—-oo (2 A integral impropria diverge. (f) oo b b » w—l b00 Jy 22 — 1 bocoo Jo |2 x-1 2 x-1 . il b . il x—1}) = fim 5 mfr 2] —Info +a = fim 5m 1 —1 1 1 1-1 1 = lim = info} — int = lim = in(tol/e}_ yt b-r00 2 b+1 3 b-r00 2 1+1/b 3 1 1 1 In3 5 ( 5) 7 (m3) => (g) | e ‘sent dt = lim | e‘sent dt = lim ~e~' sent — —e* cos| 0 b+00 Jy boo 2 2 0 1 1 1 = jim x (sen b — cos b) + 573 (h) Como 0 0 0 | el dr = lim / e’ dx = lim c*| = lim 1l-e*=1 00 a+—oo fy a——oo a a——oo e oo b b | el dr = lim | e* dx = lim —e~| =liml—e?’=1, 0 b—- 00 0 boo 0 b—- 00 temos love) 0 love) / ell dx -/ el av+ | el dr=1+1=2. 00 ~00 0 (i) 1 b x x b ————_ dr = li ———_ dx = lim -V1- 7 [ yar m [aa "Yo = lim 1 _vi — P| =1, b> 1- (3) 3g? q i 3? q i 2Vx3 —1)8 Leann [ee i. = tn 2V26 _ 27 =1 _ 2V26 alt 3 3 0 3B (K) 1 0 1 1 1 1 Vamos analisar a primeira integral do lado direito. 0 b 1 1 1 | 1 1 = dx = li = de = li -=5| = lim = — — = too. [, oe A S0- [, pt 328 soe 3b ° 1 ry Como a integral | — dx diverge, | — dx também diverge. 1 v 1 & t at t {4 (—t)* 2. 8dy= |) =—-+ += (a) |: dx rl ; rl rl 0 t (b) Him f x dx = lim 0=0 too J_y too oo t (c) Nao, pois a integral | x dx é divergente, j& que tim f xe dx = 00 i 0 0 fm 7 =o 3. (a) Como 0 0) kx 0 1 ka 1 [et de= tim, fe de = tim FEY! = im = =F e oo b —kx yb —kb | ell dx = lim | e ** dx = lim -—_| = lim tie” = i 0 boo 0 boo k lo book k k temos oo 0 love) 1 1 9 —h\c| — —kla| —k\e| rn | dx [« a+ f e€ dx nt i Assim, para termos | f(x) dx = 1, é preciso que 2 = 1 e, portanto k= 2. ~ (b) Como 0 0 —5 0 / f(x) dx = lim / f(x) dz = lim / f(x) av+ | f(z) tel) = —~oo a—-—co a a——oco a —5 —5 0 —5 0 = lim / 0dr+ | k ae| = lim [0 + ke| |- lim 5k = 5k a-—oo a 5 a-—oo a —5 a-—oo e co b 5 b | f(x) dx = im | f(x) dx = lim / f(x) ax + | f(z) ax| = 0 boo 0 boo 0 5 5 b 5 b = lim / kar | 0 de = lim ir +0 | = lim 5k = 5k boo 0 5 b—- 00 0 5 b—- 00 temos love) 0 love) | f(x) a= | f(x) ax+ | f(a) dx = 5k + 5k = 10k 00 ~oo 0 Assim, para termos | f(x) dx = 1, é preciso que 10k = 1 e, portanto kas. (c) Como 0 0 -1 0 | f(x) dx = lim / f(x) dz = lim / f(x) ax + | f(z) | = —oo a—-—co a a——oco a —1 —1 0 2 —1 3 0 = lim / odr+ f © dx} = tim 0 +S] —~ tim *=* a+—oo | J, 12 a>—oo | la 3 |-1 a>-0 33 e co b 1 b | f(x) dx = iim | f(x) dx = lim / f(x) ax + | f(z) | = 0 boo 0 boo 0 1 ' kx? |) b k ok = lim | ka? ae + | 0 dx} = lim —| +0 =lim-=-* boo 0 1 b- 00 3 Ilo 1 b00 3 3 temos °° ° °° kk 2k [ fees [tej aes fe) ae= 545-5 —Co —Ooo 0 3 3 3 Assim, para termos / f(x) dx = 1, é preciso que 2k = 1 e, portanto k= 8. +00 b est 1b es 4. (a) L(s) -| ee dt = iim | e* dt = lim —| = lim | - — - 0 boo 0 b>oo —S 10 boo S 1 1 (--)] = = s s b te-st b b est (b) Integrando por partes, temos | te dt = -~_| -| —— dt= 0 s lo 0 s be~* [ est be est b bes es 1 ——— + — at=-~—-<_| =-——-->4+5 8 5 § 8 s? lo 8 s? gs? +00 b be? Portanto, L(s) = | te-* dt = iim | te-* dt = lim | - —— — 0 boo 0 boo S e ~~} s? 2 — g? 5. (a) Not >1,t Se 3 <2 [awe . (a) Note que para x , temos ——= = ——~ < —e — dré due P ~ e+7 af+i~ at J, at FO 3x , convergente, de forma que —=—z dx € convergente. 1 w+ 7 ov 1 3a Como ——— é continua em |0,1], segue que existe ——— dre, oO +7 (0, 1], segue q [ o+7 + 3a portanto, a integral | =~ du € convergente. 9 we+7 (b) Not > 6, t | <2 [see ra x , temos ————————_——- < — e — dx é one dine pe — r+ 8e°4+274+3 7 2 Je x +00 1 convergente, de forma que | —, dx é convergente. 6 x 34+5°7 _ 3 + 3 (c) Note que para x > 1, temos eyo >—-—e / — dx é divergente, de x xc J, 2 +00 —2 345 forma que / oro” dx é divergente. 1 x