Lista - Volume - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-2

Instituto de Matemática - UFRJ Cálculo I IM UFRJ Dany Nina Huaman e Nedir do Espírito Santo Volume Exercício 1: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. (a) y² = 2x + 4, x - y + 2 = 0; em torno do eixo x (b) x = √2sen(2y), 0 ≤ y ≤ π/2, x = 4√2y/π; em torno do eixo y (c) y = e^-x², y = e^-1, x = 0; em torno do eixo y (d) x = √2y/y² + 1; x = 0, y = 1; em torno do eixo y Exercício 2: Cada integral representa o volume de um sólido de revolução. Descreva a região que foi rotacionada e o eixo de rotação. (a) π ∫ -1^3 (-x² + 2x + 3)² dx (b) π ∫ -1^1 (1 - y²)² dy (c) π ∫ 0^π/2 [(1 + cos(x))² - 1²] dx (d) π ∫ 0^4 [(√y)² - (y/2)²] dy Exercício 3: Nos seguintes itens, determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados. (a) O triângulo com vértices (1, 1), (1, 2) e (2, 2) em torno (i) da reta x = 2 (ii) da reta y = 1 (b) A região limitada por y = √x, y = 2, x = 0 em torno (i) da reta x = 4 (ii) da reta y = 2 Exercício 4: Encontre o volume do sólido S descrito • A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x² e pelo eixo x. • As seções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas. Exercício 5: Determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. (a) (b) Y Y 3 3 2 2 √2 √3 1 1 x = y² x = 3 - y² y = √2 y = √3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 X X -1 -1 (c) (d) Y Y 3 3 2 2 x = tg(y) 1 1 x = √3 x = √2 + 1 y = √x² + 1 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 X X Exercício 6: Um objeto é esculpido a partir de um tronco cilíndrico de madeira maciça com diâmetro de 2L metros e comprimento de 4 metros. O objeto tem a forma do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y = √L√2/x² + x , x ∈ [1, 5] e pelo eixo x. Calcule o volume de madeira desperdiçado. Exercício 7: Sejam a > 0 ∈ R a região do plano limitadas pelas curvas: y = 2 + sin(ax); y = sec(ax/2) ; x = 0; x = π/2a . Seja V o volume do sólido de revolução obtido da rotação de R em torno do eixo OX. Determine o valor de a tal que V = 7π. Exercício 8:Sejam a > 0 ∈ R a região do plano limitadas pelas curvas: y = 3 ln(x/a) ; x = a; e x = ea. a) Seja V₁ o volume do sólido de revolução obtido da rotação de R em torno da reta y = 3. Determine o valor de a tal que V₁ = 18π. b) Seja V₂ o volume do sólido de revolução obtido da rotação de R em torno da reta x = a. Calcule V₂ e determine o valor de a tal que V₂ = 12π. Exerc´ıcios do livro - Cap´ıtulo Volumes Se¸c˜ao 6.2 da 7a. edi¸c˜ao Encontre o volume do s´olido S descrito 50. Um tronco de pirˆamide com base quadrada de lado b, topo quadrado de lado a e altura h. O que acontece se a = b? O que acontece se a = 0? Imagem do livro. 55. A base de S ´e uma regi˜ao el´ıptica delimitada pela curva 9x2 + 4y2 = 36. As sec¸c˜oes transversais perpendiculares ao eixo x s˜ao triˆangulos is´osceles retos com hipotenusa na base. Respostas Exercício 1: (a) 4π/3 (c) π(1 - 2e^-1) (b) 1 - π/6 (d) 1/2 Exercício 2: (a) R = {(x, y)/-1 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ -x² + 2x + 3 ≤ 4} (b) R = {(x, y)/-1 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ x ≤ 1 - y²} (c) R = {(x, y)/0 ≤ x ≤ π/2, 1 ≤ y ≤ 1 + cos(x)} (d) R = {(x, y)/0 ≤ y ≤ 4; y/2 ≤ x ≤ √y} Exercício 3: (a) (i) V = 2π/3 (ii) V = 2π/3 (b) (i) V = 224π/15 (ii) V = 8π/3 Exercício 4: V = ∫ -1^1 A(y) dy = 2 Exercício 5: (a) 2π (b) 9π/2 (c) 14π/3 (d) π(π - 2)/2 Exercício 6: • 2πL² (2 - ln(5/3)) Exercício 7: • a = 8 + 9π/28 Exercício 8: (a) 2e/2e - 1 (b) 2√2/2 - 4² + 5 Exercícios do livro: 50. \( \frac{h}{3} (b^2 + ab + a^2) \) 55. 24 Fim