Teorema do Valor Médio e Regra de Lhôpital - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-1

IM Instituto de Matem´atica - UFRJ C´alculo I Ilir, Jo˜ao Paulo & Nestor Teorema do Valor M´edio e Regra de L’Hˆopital UFRJ Exerc´ıcio 1: Mostre que a equa¸c˜ao tem exatamente uma raiz real. (a) 2x + cos(x) = 0 (b) x3 + ex = 0 (c) ln(x) + x = 0 (d) 1 x − ex = 0 Exerc´ıcio 2: Verifique se a fun¸c˜ao satisfaz as hip´oteses do Teorema do Valor M´edio no intervalo dado. Ent˜ao, encontre todos os n´umeros c que satisfa¸cam a conclus˜ao do Teorema do Valor M´edio. (a) f(x) = 2x2 − 3x + 1, com dom´ınio [0, 2] (b) f(x) = x3 + x − 1, com dom´ınio [0, 2] (c) f(x) = e−2x, com dom´ınio [0, 3] Exerc´ıcio 3: Suponha que 3 ≤ f ′(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Mostre que 18 ≤ f(8) − f(2) ≤ 30. Exerc´ıcio 4: Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Prove que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. Exerc´ıcio 5: Use o Teorema do Valor M´edio para demonstrar a desigualdade |sen(a) − sen(b)| ≤ |a − b| para todo a e b. Exerc´ıcio 6: Sejam a, b e c n´umeros reais tais que a 3 + b 2 + c = 0. Mostre que o polinˆomio P(x) = ax2 + bx + c possui ao menos uma raiz real no intervalo (0, 1). (Dica: Considere o polinˆomio Q(x) = a 3x3 + b 2x2 + cx.) Exercicio 7: Calcule os seguintes limites. . 2 tg(x) ] In(1 + — im AS (o) Demat) ye Ir —3 22+1 ; b) li —— . x ©) tim (S55) ©) fim a —t 1 (c) lim sen() ~ tale) (f) lim (e? + 20212) x0 x x~—-0o Exercicio 8: Para que valores den € Nea € R 0 limite _ “2-4 lim. ———— z0 7" — qn existe? Exercicio 9: (a) Sejan € N. Calcule o limite lim — t—>+oo yw” para distintos valores de a € R. (b) Calcule o limite ] lim 2B) t>+oo gP para distintos valores de p € R. Exercicio 10: Calcule o limite : be i para distintos valores de b € R. Respostas: Exerc´ıcio 2: (a) 1; (b) 2 √ 3; (c) − 1 2ln[ 1 6(1 − e−6)]. Exerc´ıcio 7: (a) 2; (b) e−8; (c) −1 2; (d) 0; (e) 1; (f) e. Exerc´ıcio 8: (i) Se n = 1 o limite existe para todo a ∈ R; (ii) Se n ≥ 2 e a = 0 o limite n˜ao existe; (iii) Se n ≥ 2 e a ̸= 0 o limite existe. Exerc´ıcio 9: (a) (i) Se a = 0 o limite ´e 0. (ii) Se a > 0 o limite ´e ∞. (iii) Se a < 0 o limite ´e 0. (b) (a) Se p = 0 o limite ´e ∞. (b) Se p > 0 o limite ´e 0. (c) Se p < 0 o limite ´e ∞. Exerc´ıcio 10: (i) Se b = 0 o limite ´e 1. (ii) Se b > 0 o limite ´e eb. (iii) Se b < 0 o limite ´e 1.