Lista - Valores Máximos e Mínimos - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-1

IM Instituto de Matem´atica - UFRJ C´alculo I Valores m´aximos e m´ınimos UFRJ Exerc´ıcio 1: (a) Existe uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] que n˜ao atinge nem m´aximo nem m´ınimo? (b) Existe uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] sem pontos cr´ıticos em (a, b)? (c) Uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] com m´ınimo local no ponto x0 ∈ (a, b) necessariamente tem pontos cr´ıticos em (a, b)? (d) Existe uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] com m´aximo local no ponto x0 = b−a 2 ? (e) Existe uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] com m´aximo global em x = a e m´ınimo global em x = b? (f) Existe uma fun¸c˜ao f(x) definida em [a, b] com m´ınimo global em x = a e m´aximo global em x = b com f ′(x) = 0 para qualquer x ∈ (a, b)? (g) Existe uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] com m´ınimo global em x1 e m´aximo global em x2 onde x1 = x2? (h) Uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] com m´aximo local no ponto x0 ∈ (a, b) necessariamente satisfaz f ′(x0) = 0? (i) Existe uma fun¸c˜ao f(x) cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em (a, b) sem pontos extremos em (a, b)? (j) Existe uma fun¸c˜ao f(x) definida em [a, b] e deriv´avel em (a, b) sem m´aximo global? (k) Uma fun¸c˜ao composta h(x) = f(g(x)) com f(x) e g(x) cont´ınuas em [a, b] necessariamente atinge valores m´aximos e m´ınimos globais? Exerc´ıcio 2: Encontre os valores m´aximo e m´ınimo locais e globais de f(x) no intervalo. (a) f(x) = 7 − 4x, 1 ≤ x ≤ 2 (b) f(x) = 8x − 1, 3 ≤ x < ∞ (a) f(x) = x3, 0 < x ≤ 2 (d) f(x) = sen(x), −π ≤ x ≤ 3π (e) f(x) = cotg(x), π 4 ≤ x < π 2 (f) f(x) = e−2x, −1 ≤ x ≤ 1 (g) f(x) = x2 + 2x + 1, −2 < x ≤ 2 Exerc´ıcio 3: Encontre os pontos cr´ıticos de f(x). (a) f(x) = 4x2 + 8x (b) f(x) = x3 + 3x2 − 24x (a) f(x) = 2x3 + 2x2 + 2x (d) f(x) = 3x+3 x2+x+1 (e) f(x) = 8x + 13 (f) f(x) = x1/2 − x3/2 (g) f(x) = (x2 − 2x)1/3 (h) f(x) = sen2(x) + 2 cos(x) (i) f(x) = tg(x) − 4x (j) f(x) = 5xln(x) (k) f(x) = xe3x Exerc´ıcio 4: Encontre os valores m´aximo e m´ınimo globais de f(x) no intervalo fechado [a, b]. (a) f(x) = 6x2 − 24x + 10, [0, 3] (b) f(x) = x3 − 3x + 1, [0, 4] (a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 1, [−1, 3] (d) f(x) = 3x4 − 6x2 + 9, [−2, 3] (e) f(x) = (x2 − 1)2, [−2, 3] (f) f(x) = x x2+1, [0, 4] (g) f(x) = x √ 9 − x2, [0, 3] (h) f(x) = cos(x) + sen(x), [0, π/3] (i) f(x) = 2 sen(x) − x, [−π, π] (j) f(x) = ln(x) x , [1, 2] (k) f(x) = x − 5 ln(x), [1, 3] Exerc´ıcio 5: Mostre que um polinˆomio de grau trˆes f(x) = a3x3 +a2x2 +a1x+a0 com a3 ̸= 0 pode ter 2, 1, ou nenhum pontos cr´ıticos. Mostre que f(x) pode ter valores m´aximos e m´ınimos locais mas n˜ao valores m´aximos e m´ınimos globais.