Lista - Substituição Trigonométrica - Integrais - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-2

Instituto de Matematica - UFRJ (> CAleulo I foo eee s : tit e ~ Tri At e _ IM Integrais: Substituicao Trigonométrica UFRJ Calcule as integrais usando substituicdes trigonométricas. Exercicio 1: [ x°/9 — x*dx x Exercicio 2: {| ———=dx ! V1+2? 7 cos(x Exercicio 3: |; [2 —_008(@) yy 1+ sen? (x) Exercicio 4: Demonstre a formula A = 57-0 para a area de um setor circular com raio r e Angulo central 6. [Dica: Suponha que 0 < @ < 7/2 e coloque o centro do circulo na origem, assim ele tera a equacao x? + y? = r?. Entao A é a soma da area do triangulo POQ ¢ a area da regiao PQR na figura.| y P Oo QO Rx Figura 1: Exercicio 7: (a) Use a substituicdo trigonométrica para verificar que * 1 1 | Va? — tdt = xo sen” *(x/a) + 52V a? — x. 0 (b) Use a figura para dar interpretagoes geométricas de ambos os termos no lado direito da equagao da parte (a). ; a y=V@-" 0 x t Figura 2: Exerc´ıcio 5: A par´abola y = 1 2x2 divide o disco x2 + y2 ≤ 8 em duas partes. Encontre a ´area de ambas as partes. Exerc´ıcio 6: Um toro ´e gerado pela rota¸c˜ao do c´ırculo x2 + (y − R)2 = r2 ao redor do eixo x. Ache o volume delimitado pelo toro.