Lista - Taxas Relacionadas - Cálculo Infinitesimal 1 - 2021-1

IM Instituto de Matem´atica - UFRJ C´alculo I Unificado Jaqueline Siqueira Taxas relacionadas UFRJ Exerc´ıcio 1: Cascallho est´a caindo e formando uma pilha cˆonica que aumenta a uma taxa de 3m3/min, de modo que o raio do cone ´e sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de varia¸c˜ao da altura da pilha quando a altura ´e de 3m. Exerc´ıcio 2: Uma cˆamera de televis˜ao no n´ıvel do solo est´a filmando a subida de um ˆonibus espacial que est´a subindo verticalmente de acordo com a equa¸c˜ao s = 15t2 sendo s a altura e t o tempo. A cˆamera est´a a 600m do local de lan¸camento. Encontre a taxa de varia¸c˜ao da distˆancia entre a cˆamera e a base do ˆonibus espacial, 10 segundos ap´os o lan¸camento (suponha que a cˆamera e a base do ˆonibus est˜ao no mesmo n´ıvel no tempo t = 0). Exerc´ıcio 3: Num determinado instante, um controlador de tr´afego a´ereo vˆe dois avi˜oes na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajet´orias ortogonais que se cruzam num ponto P como descrito na figura acima. Neste instante, um dos avi˜oes est´a a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a 450 milhas por hora, enquanto o outro est´a a 200 milhas do ponto P e se movendo a 600 milhas por hora, tamb´em em dire¸c˜ao ao ponto P. a) Antes do ponto P, a distˆancia entre os avi˜oes est´a diminuindo? A que taxa? b) Os avi˜oes correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos avi˜oes mude a sua trajet´oria? Exerc´ıcio 4: Uma escada de 8m est´a encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do p´e da parede a uma velocidade constante de 2m/seg, com que velocidade a extremidade superior estar´a descendo no instante em que a extremidade inferior estiver a 3m da parede? Exerc´ıcio 5: Enche-se de ´agua um reservat´orio que tem a forma de um cone circular reto a uma taxa de 0, 1m3/seg. O v´ertice est´a a 15m do topo e o raio do topo ´e de 10m. Com que velocidade o n´ıvel h da ´agua est´a subindo no instante em que h = 5m? Exerc´ıcio 6: O raio de luz de um farol, que est´a situado a 3km de uma praia reta, faz 8 rpm (rota¸c˜oes por minuto). Considere a altura do farol desprez´ıvel em rela¸c˜ao a sua distˆancia at´e a praia. Determine a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ˆangulo de 45o com a linha da praia. Exerc´ıcio 7: Um ponto move-se ao longo da elipse x2 + 4y2 = 1. A abscissa x est´a variando com velocidade dx dt = sen 4t. Mostre que d2y dt2 = −sen24t + 16xy2 cos 4t 16y3 . Respostas 1)10, 6 cm/min. 2)278, 54 m/seg. 3)a) A distˆancia entre os avi˜oes est´a diminuindo `a velocidade de 750 mi/h. b) Sim, existe risco de choque. O controlador tem 20 minutos para mudar a trajet´oria de um dos avi˜oes. 4) A velocidade de 6 √ 55 m/seg ≈ 80, 9 cm/seg. 5) A velocidade de 0, 9 √ 100π m/seg ≈ 0, 2865 cm/seg. 6) A velocidade ´e 96π ≈ 301, 6 km/min ≈ 5, 03 km/h.