Avaliação 1-2021 2

Departamento Interdisciplinar - UFRGS Equac¸˜oes Diferenciais 1ª avaliac¸˜ao (2,5 pontos) 2021/2 Instruc¸˜oes: A tabela abaixo apresenta valores espec´ıficos de Λ e Ψ para cada aluno(a) da disciplina, conforme os ´ultimos 4 d´ıgitos de seu cart˜ao UFRGS: Cart˜ao UFRGS valores de Λ e Ψ ∗ ∗ ∗ ∗ 2469 Λ = 2, Ψ = 6 ∗ ∗ ∗ ∗ 0554 Λ = 3, Ψ = 6 ∗ ∗ ∗ ∗ 7197 Λ = 4, Ψ = 6 ∗ ∗ ∗ ∗ 7603 Λ = 5, Ψ = 6 ∗ ∗ ∗ ∗ 5607 Λ = 2, Ψ = 5 ∗ ∗ ∗ ∗ 6602 Λ = 3, Ψ = 5 ∗ ∗ ∗ ∗ 3942 Λ = 4, Ψ = 5 ∗ ∗ ∗ ∗ 5881 Λ = 5, Ψ = 4 ∗ ∗ ∗ ∗ 9501 Λ = 2, Ψ = 4 ∗ ∗ ∗ ∗ 5905 Λ = 3, Ψ = 4 Em cada quest˜ao abaixo, substitua Λ e Ψ pelos respectivos valores dados na tabela correspondendo a vocˆe e sua avaliac¸˜ao e resolva a quest˜ao. Todas as quest˜oes devem ter suas respostas justificadas (apresente os c´alculos). Q1. (0,4 pts) Considere a equac¸˜ao diferencial dy dx = Λe2·Ψ·x 2y + Ψy. Analise cada func¸˜ao dada abaixo, veri- ficando se ´e soluc¸˜ao da equac¸˜ao diferencial. Justifique sua resposta apresentando os c´alculos. a. y = √ Λx + Ψ · eΨx b. y = √ Λx · eΨx. Q2. i. (0,3 pts) mostre que para qualquer constante C tem-se que a equac¸˜ao exy +ln(Λx)−Ψx = C define uma soluc¸˜ao impl´ıcita da equac¸˜ao diferencial dy dx = Ψx − 1 x2exy − y x. ii. (0,3 pts) mostre que para qualquer constante C tem-se que a equac¸˜ao Λy2+Ψx3 = C define uma soluc¸˜ao impl´ıcita da equac¸˜ao diferencial dy dx = −3 · Ψ · x2 2 · Λ · y . iii. (0,5 pts) usando ii., encontre a soluc¸˜ao expl´ıcita do P.V.I. abaixo: dy dx = −3 · Ψ · x2 2 · Λ · y , y(−1) = −Λ. Q3. (0,5 pts) Considere o P.V.I. dy dx = Λx2 − Ψy, y(0) = Λ. Estime o valor de y(0.6) usando o m´etodo de Euler com 3 passos. Considere em cada passo um arredonda- mento para duas casas decimais. Q4. (0,5 pts) Ambas as figuras abaixo apresentam campos de direc¸˜oes associados a EDO dy dx = cos(x)−y x . Na figura da esquerda aparece tamb´em o gr´afico da func¸˜ao y = sen(x) x + 1 x e na figura da direita aparece o gr´afico da func¸˜ao y = sen(x) x2 + 1 x2. a. Analisando as figuras, qual das func¸˜oes parece ser soluc¸˜ao da EDO? Explique. b. Conclua seu argumento com c´alculos, mostrando que uma das func¸˜oes satisfaz a EDO e a outra n˜ao.