Álgebra Linear - Lista de Exercícios 1 - Matrizes e Traços

Álgebra Linear Lista 1 Professor Victor Mielly Questão 1 Seja A uma matriz quadrada n n Chamase traço de A a soma tr A a11 a22 ann dos elementos aii de sua diagonal Prove que trA B trA trB trαA αtrA se α ℝ e que trAB trBA Questão 2 A matriz a seguir representa a quantidade de três produtos P1 P2 P3 vendidos por três vendedores V1 V2 V3 de uma loja onde cada elemento aij representa a quantidade do produto Pi vendido por Vj i j 1 2 3 P1 P2 P3 V1 5 7 10 V2 6 2 3 V3 5 8 1 Sabendose que após vendidos cada produto P1 P2 e P3 possui 10 15 e 20 reais de lucro respectivamente determine a A quantidade de produtos vendidos por cada vendedor e qual vendedor vendeu mais produtos b Qual vendedor obteve o maior lucro e qual obteve o menor lucro c Quantos produtos P1 e P3 os vendedores V1 e V2 venderam Questão 3 Sejam A e B matrizes 3 3 com B invertível Prove que A e B1AB têm o mesmo traço Questão 4 Seja A a1 b1 a2 b2 tal que det A 0 Resolva os sistemas de equações lineares a1x1 b1 x2 1 a2 x1 b2 x2 0 a1 y1 b1 y2 0 a2 y1 b2 y2 1 e obtenha uma fórmula explícita para a matriz inversa A1 x1 y1 x2 y2 Questão 5 Construa a matriz A aij33 definida por aij 1ij se i j 0 se i j 1 Questão 6 Determine m n p e q de modo que m 2m p p n n q 3q 7 8 1 5 Questão 7 Se A 2 1 3 1 B 1 2 1 0 e C 4 1 2 1 calcule uma matriz X de ordem 2 tal que XA2 BX3 C Questão 8 Dados A 3 2 5 1 e B 0 1 3 0 mostre que AB BA Questão 9 Sejam A uma matriz m n e B uma matriz m p A afirmação falsa é a A B existe se e somente se n p b A At implica m n c AB existe se e somente se n p d ABt existe se e somente se n p e At B sempre existe Questão 10 Considere as matrizes A aij 4 7 onde aij i j B bij 7 9 onde bij i C cij tal que C AB O elemento c63 a é 112 b é 18 c é 9 d é 112 e não existe Questão 11 Seja A uma matriz de ordem n verificando A2 2A I 0 A é uma matriz inversível Se for determine A1 Questão 12 Sejam A e B matrizes de ordem n Sabendo que AB BA 0 mostre que detA2 B2 0 Questão 13 Sejam A e B duas matrizes distintas de ordem n Sabendo que A3 B3 e A2B B2A mostre que A2 B2 é não é inversível Questão 14 Sejam A B e C matrizes de ordem 4 tais que 2ABt 3Ct Se detA 27 e detB 12 então detC é igual a a 60 b 64 c 81 d 6 e 32 Questão 15 Sabendo que o determinante de uma matriz A de ordem 5 é igual a 2 e que uma matriz B foi obtida multiplicandose a matriz A por 3 calcule o determinante da matriz B Questão 16 Sejam A uma matriz de ordem 2 1 e B uma matriz de ordem 1 2 Mostre que a matriz C AB é sempre não inversível Questão 17 Em cada caso verifique se a matriz A é inversível a A 1 2 3 3 2 0 2 1 4 b A 2 3 6 1 2 3 4 6 12 c A 2 0 1 0 3 2 0 0 4 d A 1 0 0 4 1 0 5 7 3 Questão 18 A soma dos determinantes a b c a b c é igual a zero b a c b a c 1 2 3 1 2 3 a quaisquer que sejam os valores reais de a b e de c b se e somente se a b e c 0 c se e somente se a b e c 2a d se e somente se c 3a e b 2a e se e somente se b c 1 2 a 60 b 64 c 81 d 6 e 32 Questão 15 Sabendo que o determinante de uma matriz A de ordem 5 é igual a 2 e que uma matriz B foi obtida multiplicandose a matriz A por 3 calcule o determinante da matriz B Questão 16 Sejam A uma matriz de ordem 2 1 e B uma matriz de ordem 1 2 Mostre que a matriz C AB é sempre não inversível Questão 17 Em cada caso verifique se a matriz A é inversível a A 1 2 3 3 2 0 2 1 4 b A 2 3 6 1 2 3 4 6 12 c A 2 0 1 0 3 2 0 0 4 d A 1 0 0 4 1 0 5 7 3 Questão 18 A soma dos determinantes a b c a b c é igual a zero b a c b a c 1 2 3 1 2 3 a quaisquer que sejam os valores reais de a b e de c b se e somente se a b e c 0 c se e somente se a b e c 2a d se e somente se c 3a e b 2a e se e somente se b c 1 3