Avaliação-2021-2

As questões a seguir serão consideradas corretas somente quando acompanhadas de seus respectivos cálculos e/ou justificativas escritos de forma clara. 1. (2,5 pontos) Seja T : P2 → R² T(ax² + bx + c) = (a − b + c, b − c). a) Exiba uma base para Ker(T) e calcule sua dimensão. b) Calcule dim(Im(T)). c) T é sobrejetora? Por quê? 2. (2,0 pontos) Construa o operador linear T : R³ → R³ que tem autovetores (−1, 0, 0) e (0, 1, 2) associados ao autovalor −1 e T(0, 1, 0) = (1, −1, 0). Descreva T(x, y, z). 3. Considere o operador linear T : R³ → R³ tal que T(x, y, z) = (2y − 2z, x + y + z, z2). a) (0,5 ponto) Encontre os autovalores de T. b) (1,5 ponto) Para cada autovalor de T encontre uma base para seu autoespaço e calcule sua dimensão. c) (0,5 ponto) Verifique se T é diagonalizável. Se for, exiba uma base de autovetores para R³ e se não for justifique por quê. 4. (3,0 pontos) Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta. (a) Seja T : R² → R tal que T(x, y) = e²ˣ⁺ʸ então T é uma transformação linear. (b) É possível ter uma transformação linear T : R³ → R² que seja injetora. (c) Um operador linear T : V → V, com dimV=3, que só tem dois autovalores distintos não pode ser diagonalizável.