Exercício Matriz-2023-1

Seja A uma matriz n x n. Definimos a matriz adjunta de A por adjA = ( A11 A21 ... An1 ) ( A12 A22 ... An2 ) ( ... ... ... ) ( A1n A2n ... Ann ) onde A_ij = (-1)^(i+j)detA_-i,-j é chamado cofator da matriz A. Lembre-se que A_-i,-j é a matriz obtida ao retirarmos da matriz A a linha i e a coluna j. Com estas informações mostre que se detA ≠ 0 então A^-1 = 1/detA * adjA. A^-1 = 1/detA * adjA Prova Precisaremos do seguinte resultado. Regra de Cramer: seja o sistema linear A.x = b, onde A = (a_ij)n x n corresponde a matriz dos coeficientes, x = (x_1, x_2, ... x_n)^T corresponde à matriz das incógnitas e b = (b_1, b_2, ... b_n)^T corresponde à matriz dos termos independentes. Se o sistema possui única solução, então ela é dada por x_i = detA_i/detA, onde detA_i denota o determinante da matriz A_i, obtida de A substituindo-se a coluna i pela matriz b. De fato, suponha Ax = b sistema com única solução. Logo, A é invertível. Assim, existe A^-1 inversa de A tal que, multiplicando a equação matricial Ax = b à esquerda por A^-1, obtemos A^-1Ax = A^-1b, ou seja, x = A^-1b Assim, podemos tomar x = A^-1b = 1/detA adj A b onde (adjA) b = ( A11 A21 ... An1 ) ( b1 ) = ( Σ(bk Ak1) ) ( A12 A22 ... An2 ) ( b2 ) = ( Σ(bk Ak2) ) ( ... ... ... ) ( ... ) = ( ... ) ( A1n A2n ... Ann ) ( bn ) = ( Σ(bk Akn) ) Digitalizado com CamScanner Note que, definindo A_i, por A_i = | A_11 ... A_1,i-1 b1 A_1,i+1 ... A_1n | | A_21 ... A_2,i-1 b2 A_2,i+1 ... A_2n | | ... ... | | A_n1 ... A_n,i-1 bn A_n,i+1 ... A_nn | temos que det A_i = b1 A_1,i + b2 A_2,i + ... + bn A_n,i = Σ_{k=1}^n bk A_ki e, portanto, x_i = 1/det A Σ bk A_ki = det A_i / det A Segue da regra de Cramer det A = A adj A => A⁻¹ det A = A⁻¹ A adj A => A⁻¹ det A = I adj A => A⁻¹ = 1/det A adj A.