Lista de Exercícios Resolvida - Álgebra Linear - Subespaços Vetoriais e Dependência Linear

Álgebra Linear Lista 3 Professor Victor Mielly Questão 1 Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços do R³ a x₁ x₂ x₃ R³ x₂ 2 b x₁ x₂ x₃ R³ x₁ x₂ x₃ 0 c x₁ x₂ x₃ R³ x₁ x₃ x₂ d x₁ x₂ x₃ R³ x₁ x₂ Q Questão 2 Seja V um espaço vetorial Prove que se Wᵢ i 1 n são subespaços vetoriais de V então i1 até nWᵢ é um subespaço vetorial de V Questão 3 Seja V um espaço vetorial Considere W₁ e W₂ subespaços de V É sempre verdade que W₁ W₂ é subespaço vetorial de V Questão 4 Seja V um espaço vetorial Considere W₁ e W₂ subespaços de V Mostre que W₁ W₂ é subespaço vetorial de V se e somente se W₁ W₂ ou W₂ W₁ Questão 5 Considere o sistema x 2y 2z a 2x 3y 4z b x 4y 3z c determine quais condições devemos impor para a b e c para que o conjunto solução do sistema dado seja um subespaço vetorial do R³ Questão 6 Prove que 1 2i e 3 4i geram o espaço vetorial C sobre R Questão 7 Dados u 1 2 3 v 3 2 1 e w 3 2 7 em R³ obtenha números reais x e y tais que w xu yv Quantas soluções admite este sistema Questão 8 Sejam u x y e v x y vetores em R² Mantenha a definição do produto de um número real α por um vetor u como αu αx αy Definindo a soma como nos itens abaixo determine quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados a u v x y x y b u v xx yy c u v 3x 3x 5x 5x Questao 9 Considere o espaco vetorial V R3 Seja W x y z R3 x 2y z 0 V a Mostre que W e um subespaco vetorial de V b Determine uma base para W Questao 10 Considere o espaco vetorial V R3 Sejam U Span1 1 0 e W Span1 1 1 a Mostre que U W e um subespaco vetorial de V b A soma U W e direta Questao 11 Dados U e W subespacos de um espaco vetorial V tais que U W entao mostre que U W W Questao 12 Sejam U x y 0 x y R e W x 0 z x z R subespacos do R3 A soma U W e direta Questao 13 Verifique se os seguintes vetores sao linearmente independentes a 1 1 1 0 1 2 b π 0 0 1 c 1 1 0 1 1 1 0 1 1 d 0 1 1 0 2 1 1 5 3 Questao 14 Considere o espaco vetorial de funcoes reais determinadas para t 0 Mostre que os seguintes pares de funcoes sao linearmente independentes a f1t t f2t 1 t b f1t et f2t logt 2