Lista 4 - Mudança de Base - 2023-2

é é ; é L soa UFRPE Algebra Linear - Lista 4 Professor : Victor Mielly Questao 1: Seja 8 = {(1,1, 1), (1, 2,0), (3,1,0)}. Mostre que: a) 8 é uma base do R?®. b) Determine as coordenadas do vetor u = (4, —5,3) na base £. Questao 2: No plano 7: «+ 2y — z = 5 considere as seguintes operacoes: (x,y, 2) + (a’,y’, 2’) = (a +a — 2,y ty’ — 2,2+2' ~ 1) Ma, Yy, Zz) = (Ax + (2 — 2A), Ay + (2 — 2X), Az + (1 — A)) Verifique se com estas operacgoes 7 é um espaco vetorial. Questao 3: Sejam f(x) = 4a”? — 32 +9, g(x) = 27 +24 —7 e h(x) = 3x? + 3x — 1. O conjunto {f(x), g(a), h(x)} € LL? Questao 4: Considere o sistema 2e + 4y -— 6z =0 S: x -— y + 42 =0 6y — 14z =0 Seja W = {(2,y,z) € R®; (x,y,z) € solucdo de S}, ou seja, W é 0 conjunto solucaéo do sistema S$. Encontre uma base para W. Questao 5: Verifique se os conjuntos {(1, —1, 2), (3,0,1)} e {(—1, —2,3), (3,3, 4)} geram o mesmo subespaco de R°. Questo 6: Mostre que 6 = {1,(1+.2),(1+2)*} é uma base para P2(R) = {ax* + br +c; a,b,c € R}. Questao 7: Determine uma base do conjunto solucao do seguinte sistema: cL - y- z -— t =0 2a + y + t =0 Questao 8: Verifique se o conjunto {2 + 3i, 1 — 2i} gera o espaco C sobre R. 1 Questao 9: Seja U = {( 7 i ) € M2(R); ex-y-z= of. Considere B= 1 1 1 0 0 0 ~YLo oJ*L1 o}?Lo 1 Jf & gl 1 0 0 -1 0 0 1 o0/’\ 1 O "\ 0 1 , Mostre que 8 e 3’ sao bases de U. Questao 10: Sejam 6 = {e1, e2,e3} e 6’ = { fi, fo, fg} bases do R3, onde 6 é a base canénica e fi = 2e1 —_ 2e2 —_ 2e3 fo = deo + 6e3 fz = 6e1 + 2e€3 a) Determine as matrizes de mudanga de base de 8 para 3’ e de §’ para £. b) Se u € R3 apresenta coordenadas 1, 2 e 3 em relacao a 8, quais as coordenadas de u em relacao a 8’? Questao 11: No exercicio 9 mostramos que B= 1 1 1 0 0 0 ~“YLoo/’Lio) Loaf © gl 1 0 0 -1 0 0 1 o0/’\ 1 O "\ 0 1 , sao bases de U = {( : i ) € M2(R); e-y-z= 0}. Determine: a) A matriz de mudanga de base de 6 para (’ e de f’ para 8. b) Uma base C' de U, tal que a matriz de mudanga da base C' para ( seja 1 11 2 3 °5 3.4 7 Quest4o 12: Considere a seguinte matriz de mudanca da base £ para a base 8’ de R® 1 1 1 B _ Ty ={ 1 0 0 1 1 -1 seja v € R® tal que 2 UB! => 0 4 determine as coordenadas de v com relacao a £3. 2 Questao 13: Sejam 8 = {(1,0),(0,1)} e 6’ = {(1,2), (0,1)} bases para R?. Determine as matrizes de mudanca da base 8 para 6’ e de 2’ para 8B. Questao 14: Considere 6 = {(1,1,1), (—1,1,0), (1,0, -1)} e 6’ = {(1,0,0), (0, 1,0), (0,0, 1)} bases para R°. Se 3 UB! => 4 5 determine vg. Questao 15: Considere as bases 6 = {u1, u2, us} e 8’ = {v1, v2, 03} tais que Vy=uUy+ 2ug + 3u3 Vg = Uy + 3ugq + 4u3 U3 = 3uy + U2 + 7u3 determine a matriz de mudanca da base 6 para a base (’. Questao 16: Considere as bases 6 = {(—1,1), (1,1)} e 6’ = {v1, vo}. A matriz de mudanga da base (’ para a base £ é dada por pf 1 1 w-(12). Determine a base {’. Questao 17: Construa explicitamente a transformacao linear T : R? > R?, tal que T(1,1,1) = (1,0), T(0,0,1) = (4,1) e T(-1,0, 2) = (3,0). Questo 18: Considere a transformacao linear T : R+ —> R* dada por T (x,y, 2,w) = (a+y,z-w,x7+y-z+u,v). a) Encontre Nuc(T). b) Encontre Im(T). c) (—1,-1,0,3) € Im(T)? Questao 19: Considere as transformacoes lineares T; : V — We T,: W > U. Mostre que se a composta Th oT, é injetiva, entao T; é injetiva. Questao 20: Verifique se as matrizes sao diagonalizaveis: 0 1 =O a) A=|{ 0 0 1 2 -5 4 -1 0 1 b) B= 3.0 -8 1 oO -1 3