Teorema de Interseção e Soma de um Espaço Vetorial-2023-1

18 07 Exercício: Demonstre o Teorema Intersecção e soma de um espaço Vetorial V. Teorema: Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então são subespaços: i) W1∩W2; ii) W1+W2=W; iii) W1⊕W2. Demi.: i) Sendo W1 e W2 subespaços, temos 0 ∈ W1 e 0 ∈ W2, logo 0 ∈ W1∩W2. Agora sejam u,v ∈ W1∩W2. Então: u,v ∈ W1∩W2 ⇒ u,v ∈ W1 e u,v ∈ W2 ⇒ u+v ∈ W1 e u+v ∈ W2 (pois W1 e W2 são subespaços) ⇒ u+v ∈ W1∩W2. Agora seja u ∈ W1∩W2 e α∈ℝ. Temos u ∈ W1∩W2 ⇒ u ∈ W1 e u ∈ W2 ⇒ αu ∈ W1 e αu ∈ W2 ⇒ αu ∈ W1∩W2. Portanto W1∩W2 é subespaço vetorial. ii) Claramente 0 ∈ W = W1+W2, pois 0 = 0W1 + 0W2 ∈ W. Agora sejam w = v1 + v2, w = u1 + u2 ∈ W, com v1, u1 ∈ W1 e v2, u2 ∈ W2. Com isso, v+w = v1+v2 + u1+u2 = (v1+u1) + (v2+u2), com (v1+u1) ∈ W1 e (v2+u2) ∈ W2, provando que (v+w ∈ W = W1+W2). Seja α ∈ ℝ e v = v1+v2 ∈ W, v1 ∈ W1 e v2 ∈ W2. Vale que αv = α(v1+v2) = αv1 + αv2 = (αv1) + (αv2) ∈ W. _____________ e∈W1 e∈W2 Portanto W = W1+W2 é subespaço. iii) Para o caso W1⊕W2, não há o que provar, pois o item ii) é suficiente, visto que W1 e W2 são arbitrários, podendo ser tal que W1∩W2={0}. Obs.: Para provar que W⊂V é subespaço, basta mostrar que: 0 ∈ W; u+v ∈ W, ∀u,v ∈ W; αu ∈ W, ∀u ∈ W, ∀α ∈ ℝ.