Prrova Final-2021-2

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Álgebra Linear – Final 18/12/2021 Prof. David Wilber As questões a seguir serão consideradas corretas somente quando acompanhadas de seus respectivos cálculos e/ou justificativas escritos de forma clara. 1. (2,5 pontos) Levando em consideração o conhecimento sobre matrizes, responda os seguintes itens: a) (1,2 ponto) Dada as matrizes: 𝐴 = [ −6 1 3 9 −7 0 −2 0 0 ] 𝐵 = [ −4 0 7 6 2 4 −3 −2 1 ] 𝐶 = [ 1 4 0 5 3 0 0 9 2 ] Encontre 𝑑𝑒𝑡[(𝐴3. 𝐵−1)𝑇. 𝐶]. b) (1,3 ponto) ) Dada a matriz 𝐷 = [ 2 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 1 1 −1 0 0 3 ], encontre 𝐷−1 utilizando o método de Eliminação de Gauss-Jordan. 2. (2,5 pontos) Sendo 𝛼 = {1, 𝑥} e 𝛽 = {𝑥 + 3, −2𝑥 + 1} bases de 𝑃1: a) (1,5 ponto) Qual matriz mudança de base é mais fácil de se encontrar: [𝐼]𝛽 𝛼 ou [𝐼]𝛼 𝛽? Por quê? Encontre uma delas e determine a outra utilizando a matriz inversa. b) (1,0 ponto) Escreva as coordenadas de 𝑝(𝑥) = 5 − 2𝑥 na base 𝛽. 3. (2,5 pontos) Seja a Transformação Linear: 𝐹: 𝑅3 → 𝑅4 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦ (𝑥 − 𝑦 − 𝑧 , 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 , −𝑦) a) (1,5 ponto) Exiba uma base para 𝐼𝑚(𝐹) e calcule sua dimensão. b) (0,5 ponto) Determine 𝑘𝑒𝑟(𝐹). c) (0,5 ponto) 𝐹 é injetora? Por quê? 4. (2,5 pontos) Levando em consideração o conhecimento sobre autovalores e autovetores, responda os seguintes itens: a) (1,5 ponto) Encontre a transformação Linear 𝐺: 𝑅2 → 𝑅2, tal que 𝐺 tenha autovalores -2 e 3 associados aos autovetores (3𝑦, 𝑦) e (−2𝑦, 𝑦), respectivamente. b) (1,0 ponto) Determine os autovalores e autovetores da seguinte matriz: 𝑋 = [ 1 0 2 −1 0 1 1 1 2 ] BOA PROVA!