Espaços e Subespaços Vetoriais - Definições e Exemplos

Espaços e subespaços vetoriais V Ex Vℝ2 uu1 u2 V vv1 v2 V u v u1 v1 u2 v2 αu αu1 u2 α ℝ αu αu1 u2 α βu α βu1 u2 αu βu αu1 u2 βu1 u2 αu1 βu1 u2 u2 α βu1 2u2 α βu αu βu V não é um espaço vetorial Propriedades 1 w u w v u v Em particular i w u w u 0 ii w u 0 u w w u w v u 0 u w w u w w u w w v w w v 0 v v w u w v u v Caso particular i w u w w u w 0 u 0 ii w u 0 w u w w u w 2 i 0 K e v V 0v 0 V ii α K e 0 V α0 0 V i v 0v 1v 0v 1 0v 1v v v 0 0v 0 ii α0 α0 α0 0 α0 α0 0 α0 0 3 Se α 0 e v 0 então αv 0 Se αv 0 então v 1v α1αv α1αv α10 0 4 1v v v 1v 1v 1v 1 1v 0v 0 v v 1v v Subespaço vetorial Um subconjunto S V onde V é um espaço vetorial sobre um corpo K é um subespaço vetorial de V se 1 0 S 2 u v S u v S 3 λ K u S λu S Ex S0 e SV Ex Vℝ2 uu1 u2 vv1 v2 u v u1 v1 u2 v2 αu αu1 αu2 α ℝ V é um espaço vetorial S xy ℝ2 y2x x 2x x ℝ 1 00 S pois 020 2 u1 2u1 S e v1 2v1 S u1 2u1 v1 2v1 u1 v1 2u1 2v1 u1 v1 2 u1 v1 S 3 λ ℝ u1 2u1 S λ u1 2u1 λu1 λ2u1 λu1 2 λu1 S S é um subespaço vetorial de V Ex Vℝ2 V como no exemplo anterior S xy ℝ2 y42x x0 y4204 04 S y0 42x0 x2 20 S 00 S S não é subespaço vetorial de V Combinação linear v V é combinação linear de v1 v2 vn se existem a1 a2 an K tais que v a1 v1 a2 v2 an vn Ex v43 ℝ2 é combinação linear de 10 e 01 pois 43 4 10 3 01 v43 é combinação linear de 11 e 01 43 4 11 1 01 Seja Sv1 v2 vn onde v1 v2 vn V Dizemos que S gera W quando todo elemento de W pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S W v V v a1 v1 an vn a1 an K v1 v2 vn S S é um conjunto de geradores para W W é um subespaço vetorial de V Dizemos que um espaço vetorial V é fundamentalmente gerado se existe S V tal que V S Ex V x2x x R S 12 u V u x 2x x12 V S Ex Seja u ab e v cd vetores não nulos em R2 v αu para algum α R ad bc 0 v αu cd αa αb c αa e d αb bc b αa e ad a αb ad bc 0 ad bc a 0 e b 0 temos que ca db α Daí c αa e d αb cd αa αb α ab a 0 e b 0 como ad bc devemos ter 0 bc e c 0 Logo u 0b v 0d v αu com α db a 0 e b 0 ad bc ad 0 d 0 u a0 e v c0 v αu com α ca Em qualquer caso ad bc v αu u ab e v cd vetores em R2 tais que nenhum deles é múltiplo do outro Então u 0 v 0 e ad bc 0 Afirmação X uv é um conjunto de geradores do R2 W R2 vamos procurar x e y tais que w x u y v w rs rs w x u y v x ab y cd xr yc r xb yd s A a c b d det A ad bc 0 pela regra de Cramer o sistema tem solução única Ex Rn e1 100 e2 0100 ei 0100 en 001 S e1 en temos que Rn S U W subespaços vetoriais do espaço vetorial V U W v V v U e v W U é subespaço vetorial de V U W v V v u w u U w W U é subespaço vetorial de V Quando U W 0 dizemos que a soma U W é uma soma direta Notação U W U S1 e W S2 U W S1 S2 S1 u1 u2 um S2 v1 v2 vn Temos v U W então v u w u U w W v α1 u1 αm um β1 v1 βn vn combinação linear dos elementos de S1 S2 v S1 S2 Agora seja u S1 S2 u α1 u1 αm um β1 v1 βn vn S1 S2 u S1 S2 U W U W S1 S2 Teorema Sejam W W1 e W2 subespaços vetoriais do espaço vetorial V São equivalentes 1 W W1 W2 2 Todo elemento w W se escreve de modo único como soma w w1 w2 onde w1 W1 e w2 W2 Dem W1 W2 0 u1 u2 v1 v2 u1 v1 v2 u2 W1 W2 u1 v1 W1 W2 e v2 u2 W1 W2 então u1 v1 0 então u1 v1 v2 u2 0 v2 u2 Seja w W1 W2 então o w w o então w o então W1 W2 0 W1 W2 Ex W1 c 10 c R R2 subespaço de R2 W2 c 21 c R R2 W1 W2 é soma direta Tome v xy R2 xy v c1 10 c2 21 c1 2c2 x então c1 x 2y c2 y c1 e c2 são únicos logo a soma W1 W2 é soma direta