Lista10 Gabarito Algebra Linear

Lista 10 - ZAB 0161 - Diagonalização. Cônicas.\n\n1. Calcule os autovalores e autovetores de\nduas afirmações sobre a relação dos autovetores e autovalores dessas duas matrizes.\nResposta: a) Os autovalores de são os quadrados dos autovalores de\nb) Os autovetores de são autovetores de\n\n2. Encontre o posto e todos os quatro autovalores da matriz quadrilátera\n\nQuais autovalores correspondem aos autovalores não nulos?\nResposta: Os autovalores não nulos são: e , os autovetores\ncorrespondentes são: e\n\n3. Se , encontre diagonalizando .\nResposta: - valores e autovetores, considere , e assim sucessivamente.\n\n4. Suponha que , qual é a matriz de autovalores de ? e\nqual a matriz de autovetores? Resposta: Observar\n. Assim os valores da matriz diagonal de autovalores foram\nincrementados em duas unidades, portanto, os autovalores de\nos autovalores de incrementados em duas unidades. Os autovetores continuam sendo os mesmos.\n\n5. As matrizes a seguir, são definidas positivas?\n Resposta: A matriz é definida positiva, a matriz não é, pois tem um autovalor igual a .\n\n6. Um esguicho, posicionado na origem, lança água e esta descreve uma parábola de vértice . Calcular a altura do filete de água, a uma distância de metros da origem, sobre a horizontal . Resposta: Observar que pertence à parábola, então .\n\n7. Determine a equação da circunferência cujo centro e o ponto e que é tangente à reta .\nResposta: Observar que o raio da circunferência é a distância do ponto à reta. A circunferência é ou .\n\n8. Dois dos vértices de um polígono regular de quatro lados coincidem com os focos da elipse e os outros dois com os vértices do eixo menor da elipse. Calcular a área do polígono. Resposta: O polígono é um quadrilátero formado por dois triângulos, cuja base é a distância focal, e a altura é o semi-eixo menor da elipse. Assim: unidades quadradas.\n\n9. Escreva a equação canônica da elipse, dados:\n(a) os focos e dois vértices .\nResposta: A equação da elipse é - -.\n(b) o centro , um dos focos - e um ponto -.\nResposta: Como o foco está no eixo , temos - , e como o ponto pertence a elipse, deve satisfazer a equação. Substituindo as coordenadas do ponto na equação temos , logo - -.\n\n10. Qual a equação do conjunto de pontos cuja soma das distâncias a e a é igual a ?\nResposta: É uma elipse cuja equação é - - , dado que