Lista2 Gabarito Algebra Linear

2. Com as matrizes da alínea (b) e (d), do exercício anterior, resolver para a equação:\n\nResolução:\n(b) Aplicando Gauss-Jordan na matriz estendida, tem-se:\n\n(d) Aplicando Gauss-Jordan na matriz estendida, tem-se:\n\n3. Calcular as matrizes inversas (se possível) de\n\n(a)\n\n(b)\n\n(c) (d)\n\n(e) lembrar as identidades\n\n4. Considera o seguinte sistema de equações lineares\n\nonde e são coeficientes escalares.\n\n(a) Discuta o sistema em função dos coeficientes e.\nResolvendo o sistema, tem-se que: ZAB 0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria analítica\nLista 2 - Matrizes\n\nTodo sistema de equações lineares deve ser resolvido utilizando o método de eliminação Gauss ou Gauss-Jordan.\n\n1. Aplique a eliminação de Gauss para decompor para\n\n(a)\n\n(b)\n\n(c)\n\n(d)\n\nResolução: Utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan podemos triangularizar (superior) as matrizes e assim obter a matriz com zeros abaixo da diagonal. Observar que os fatores utilizados nas operações elementares (com sinal trocado) formam as entradas da matriz ... A matriz ... tem a característica de possuir em cada entrada da diagonal e zeros acima dela.\n\n(a) Matriz : \nMatriz : \n(b) Matriz : \n\nMatriz : \n(c) Matriz : \n\nMatriz : \n(d) Matriz : \nMatriz : Daqui, para conseguir outro pivô igual a , precisamos que , logo existe , então __ . Logo, para qualquer mas , existe uma única solução, que toma a forma __ . Para o caso , temos e esse sistema tem solução para , isto é, para - temos infinitas soluções com a forma __ . Por último, para , e temos , logo não existem soluções. (b) Decomponha a matriz dos coeficientes , , para , na forma . Fazendo a matriz pelo método de Gauss-Jordan: __ Utilizando os elementos da diagonal para fazer a matriz __ . Fazendo a matriz : __ Então: __ . (c) Calcule a inversa da matriz dos coeficientes do sistema, para o caso __ . Utilize o resultado para resolver o sistema no caso __ e __ . Calculando a inversa da matriz com os coeficientes e __ __ __ __. Logo o sistema a ser resolvido é assim __ __ __ __ __ __ . Seja a função (transformação) matricial definida por (a) Determine __ , e tais que __ . Resolução: Seria resolver o sistema __ , então __ . (b) Determine também a matriz resultante de __ . 6. Determine uma equação que relacione __ , e para que o sistema linear abaixo tenha solução para quaisquer valores de __ , e que satisfazem essa equação. Resolução: __ . Assim, uma equação para as variáveis __ e __, que satisfazem o sistema de equações, é: __ __ __ __. Figura 1: Temperaturas 7. Considere um processo industrial cuja matriz é __ . Determine a matriz de entrada para cada uma das seguintes matrizes resultantes: (a) Resolução: Para resolver utilizamos __. Então encontramos a inversa de __ , __ __ (a) __ __ . (b) __ __ . 8. Considerando que as temperaturas não conhecidas nos pontos da Figura [1], são valores médios dos valores conhecidos, determine as temperaturas __ , __ e __. Resolução: O sistema de equações, com os coeficientes já colocados na matriz é: \n\nPortanto, ;\n9. Responda verdadeiro ou falso, justificando,\n(a) Se , então \nVerdadeiro. Desenvolvendo o produto . Utilizando a hipótese temos\n(b) Se , onde é uma matriz diagonal, então \nVerdadeiro. Calculamos a transposta de , onde foi utilizada a propriedade da transposta de um produto. Mas a transposta da transposta de uma matriz é a mesma matriz, assim , e a transposta de uma matriz diagonal é a mesma matriz diagonal, então\n(c) Se é uma matriz diagonal, então , para toda matriz ; \nFalso, pois, supondo uma matriz qualquer e fazendo-se\nFazendo-se Portanto,\n(d) Se , então \nVerdadeiro. Calcule-se\n(e) Se e são tais que e então , é tal que . Falso. Calcula-se , utilizando as igualdades em que e são iguais a suas transpostas, temos , se teríamos que , o que não é válido sempre pois o produto de matrizes não é necessariamente comutativo. Como contra exemplo temos e onde e , que não são iguais.\n10. Determine coeficientes e da equação da circunferência que passa pelos pontos\nResolução: Substituindo os pontos dados na equação da circunferência e colocando os valores dos coeficientes de e na matriz:\nO valor dos coeficientes é: , e , portanto a circunferência é