Lista6 Gabarito Algebra Linear

Lista 6 - Álgebra linear com aplicações em geometria analítica May 8, 2017 1. Determine a área de um polígono cujos vértices são os pontos: , , , e . Utilizar vetores e produto escalar. Resolução: A área de um triângulo formado por dois vetores e pode ser calculada por , considerando o lado base do triângulo. Assim, na figura formamos três triângulos que formam o polígono todo. E , e . Para o considere o lado base ao vetor , com , e . A área do é . Para o considere o lado base ao mesmo vetor , e . A área do é . Para o considere o lado base ao vetor , com , e . A área do é . A área total é . 2. é um quadrilátero, e é o ponto médio de , é o ponto médio de , o vetor é paralelo a . O vetor é paralelo a e Determine os vértices , , e . Resolução: Dos dados paralelos obtemos as seguintes relações: , , . e como , podemos dizer . Também é conhecido . Agora: . Isto é: o que dá o sistema . Por Gauss-Jordan: - , então - e . , isto é, . Então : , então . Agora utilizamos a informação do vetor projeção: E o vetor devia ser igual a , então - , assim , portanto . Para: 3. Sejam , não nulos, e . Quais das seguintes afirmações são verdadeiras e por quê? (a) então é paralelo a ou . (V) Observar que a igualdade apresenta: (b) se e . (F) Como , e não são ortogonais, assim a projeção também . Como então é paralelo a , . Também , logo . (c) (F) Observar . (d) (F) Observar . 4. No trapézio da figura, , e . Determinar os pontos , , e o vetor . Resolução: Como temos um trapézio isósceles, assim e comparando nos triângulos seus lados e ângulos, o ângulo deve ser igual ao ângulo logo como e são ortogonais, também e são ortogonais, . Isto é, ou ; ou . Pela informação da projeção temos que , mas também , logo e , e , daqui: , então - e . Para conhecer : ou ou , isto é e . Observar que se então , logo - . Daqui: . Para determinar utilizamos temos um sistema de duas equações com duas incógnitas, resolvendo . Substituindo - . 5. Dados os extremos e do segmento de reta , determine o ponto que divide em dois segmentos na relação de Resolução: A relação é dada para os dois segmentos (vetores) que foram gerados pela divisão, portanto: , assim - , então , logo . 6. Os pontos e da reta distam unidades da reta , determine Resolução: Observar que a reta tem ponto de passagem e um vetor ortogonal . Procuramos um(ns) ponto(s) na primeira reta dada tal que a projeção do vetor sobre o seja de tamanho . Como pertence a primeira reta, e tem a forma , então - , vide Figura 1. Figure 2: Duas retas e seus vetores direção , então Assim temos duas soluções: e . Da primeira equação obtemos e da segunda , logo . 7. Determine as equações paramétricas das bissetriz das retas e , que correspondem ao ângulo agudo e ao ângulo obtuso entre as retas e . Resolução: O ponto de interseção das retas é : Para determinar o vetor direção de uma bissetriz entre os vetores e das duas retas, basta calcular os vetores unitários e somar esses vetores, vide Figura 2 (a Figura é apenas ilustrativa para visualizar os ângulos entre duas retas). Para encontrar a bissetriz do ângulo agudo, considera-se e , encontramos os vetores unitários e , a soma é , podemos tomar o vetor direção . Assim com o vetor direção e o ponto de passagem (que é o ponto de interseção das duas retas) temos: Para calcular a segunda bissetriz, considere o inverso de um vetor, por exemplo e (sempre do mesmo tamanho, de preferência unitários). O vetor direção é e simplificando e com o ponto de passagem temos as equações paramétricas . 8. Sejam as retas . Determine a equação vetorial da reta que é ortogonal às rectas e , e que intercepta (cruza) ambas. Achar os pontos de interseção. Resolução: Se é ortogonal a e , o vetor direção de será ortogonal aos vetores direção das outras duas retas simultaneamente. Logo um vetor direção será o produto vetorial . A equação da reta precisa de um ponto de passagem, como intercepta , vamos a utilizar esse ponto , como ponto de passagem, então a equação é . Por ser ponto de podemos escrever . Por outro lado, como cruza , existe um ponto em que também é ponto de , . Por ser ponto de , substituímos na equação de obtendo: . O que dá um sistema linear de equações com incógnitas. Levando a matriz estendida, temos: cuja solução é , e . Assim: . A equação vetorial da reta é . 9. Um plano contém a reta , e é paralelo a reta . Determine a equação vetorial, equação geral e equações paramétricas do plano. Resolução: Dos dados então obtemos a representação paramétrica seguinte: . Por estar a reta contida no plano, o vetor da reta pode ser considerada como um dos vetores direção do plano, o outro vetor será o vetor direção da reta paralela ao plano: . Assim, os dois vetores direção são e . Para a equação vetorial falta um ponto de passagem que pode ser obtido da reta contida no plano, por exemplo . A equação vetorial do plano é . As equações paramétricas Para a equação geral obtemos o vetor normal , portanto a equação geral é . 10. Dado o plano , indicar se o ponto está acima ou embaixo do plano. Escreva a equação vetorial do plano e as equações paramétricas do mesmo. Resolução: Substituindo as coordenadas do ponto no primeiro membro da equação do plano temos . Assim, pode-se dizer que está acima do plano. Para obter a equação vetorial do plano, achamos três pontos não colineares do plano e montamos dois vetores direção, por exemplo , e . Os vetores . Observar que os dois vetores são linearmente independentes (Observar: se fossem dependentes, então , igualando as terceiras componentes teriamos então ; igualando as segundas componentes , então , que não é válido). A equação vetorial do plano é e as equações paramétricas Draw a Batman that looks like he's trying to solve a math problem