Lista3 Gabarito Algebra Linear

ZAB 0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria analítica\nLista 3 - Aplicação: Circuitos, Cadeias de Markov, Determinantes\n3 de abril de 2017\nTodo sistema de equações lineares deve ser resolvido utilizando o método de eliminação Gauss ou Gauss-Jordan.\n1. Determine as intensidades de corrente no circuito:\n\n b 2Ω \n I2 c I4 d\n I3 \n 5Ω 6Ω \n 20V \n I1 \n 1Ω \n e\n Resolução: Orientando do nó a\n nó, do nó a\n nó, do nó a\n nó, do nó a\n nó e do nó a\n nó. Agora definimos o ciclo, sendo aquele que vai pelos nós a, e; o ciclo, pelos nós b, e; e o ciclo, pelos nós d, e. Considerando a conservação de energia dos três ciclos e duas equações de conservação de carga, temos o sistema: A matriz estendida para\n é\n e resolvendo por Gauss-Jordan dá:\n\n .\n Ô que significa que e foram orientados ao contrário, orientando do nó a\n nó, e do nó a\n nó, temos que\n ,\n ,\n e . ( é ampere).\n2. Considere a matriz de transição\n\n (a) Se\n , determine\n e \nutilizando até três casas decimais.\n Resolução:\n\n\n\n(b) Mostre que\n é regular e encontre o seu estado estacionário.\n Definição: Uma matriz de transição\n é regular se todas as entradas de alguma potência de\n são positivas.\n Definição: Um vetor de probabilidades, estado\n é o estado estacionário para uma matriz de transição\n se satisfaz\n Resolução: Observamos que\n e\n isto é, a potência cuba tem todas as entradas positivas, logo é uma matriz regular.\n Para encontrar o estado estacionário, resolvemos o sistema\n , ou equivalente Utilizando Gauss-Jordan obtemos\n3. Determine todos os valores envolvidos nos circuitos seguintes:\n\n 3Ω\n a \nb 2Ω\n 2Ω\n +60V \n +80V \n E\n 13A\n f \n 1Ω\n e 3Ω \n d\n\n (a) Resolução: Consideramos a corrente de\nno sentido a\n , e a corrente de\n de a\n ao\n . Considerando o ciclo\n , e\n temos a equação (conservação de energia),\n e do ciclo\n, e temos.\n Como temos três incógnitas basta considerar um nó, por exemplo o\n, então pela conservação de carga temos O sistema é\n\n sendo a solução\n,logo devemos orientar a corrente de\n no sentido contrário ao que estava, isto é de\n a e a corrente de também no sentido contrário, assim\n , e\n . Resolução: Consideramos a corrente de no sentido a, a corrente de de a, a corrente de de a. Considerando o ciclo, e temos a equação (conservação de energia). No ciclo e temos e no ciclo, e temos. Sendo 6 as incógnitas, então precisamos de mais três equações sobre os nós. Para o nó, temos; para o nó, temos; e por último o nó, temos. Montando a matriz estendida e resolvendo temos. Logo temos que trocar a orientação da corrente de e. Um editor publica um possível sucesso em três apresentações diferentes: livro de bolso, edição para clube de leitores e edição de luxo. Cada livro de bolso precisa um minuto de costura e para colar. Cada livro da edição para clube de leitores precisa minutos para costura e para colar. Cada livro da edição de luxo precisa minutos de costura e de cola. Se o talher de costura está disponível horas diárias e de cola horas, quantos livros de cada apresentação podem ser elaborados por dia, de maneira a aproveitar os talheres em toda sua capacidade? Resolução: A matriz de incógnitas é número de livros de bolso por dia, número de livros para clube de leitores por dia, número de livros de edição de luxo por dia. Então o sistema de equações é Montando a matriz estendida e resolvendo. Logo, o número de livros de edição de luxo deve ser e para os outros temos a relação. Fazendo qualquer número inteiro positivo, dá. Assim, portanto, escolhendo elaborar livros para clube de leitores em um dia, o número de livros de bolso será. Encontre todos os valores de para os quais a matriz tem inversa, em que Resolução: Construindo e calculando o seu determinante temos. Sabemos que se o determinante é zero a matriz não terá inversa, logo a matriz tem inversa se e. A solução do sistema é ⎯ , o que significa que ⎯ da população estará dedicada a agricultura.\n\n8. Considere uma sociedade simples, formada por um agricultor, um carpinteiro e um alfaite. Cada um produz um bem: o agricultor produz alimentos, o carpinteiro constrói casas e o alfaite fabrica roupa. Para simplicidade, assuma que cada indivíduo produz uma unidade de cada bem em três meses.\nSuponha que o agricultor consome – do alimento, – da habitação e – da roupa. Que o carpinteiro consome – do alimento, – da habitação e – da roupa. Que o alfaite consome – do alimento, – da habitação e nada de roupa. Determine a matriz de transição do problema e um vetor estacionário. Resolução: A matriz de transição será\n\nAgricultor Alfaite Carpinteiro\nAgricultor – – –\nAlfaite – – –\nCarpinteiro – – –\n\nPara determinar o estado estacionário resolvemos o sistema matricial e a equação ⎯ , o que leva a matriz extendida ⎯\n\n–\n–\n–\n–\n–\n\nsendo o estado estacionário ⎯ O sistema a ser resolvido é\n\n(b) (1.5 pts) Represente o sistema como um sistema matricial, ⎯ ( é uma matriz coluna) e resolva o sistema encontrando a inversa da matriz ⎯. Resolução: A equação matricial tem a forma,\n\nPara resolver achamos a inversa de ⎯, então\n\nA inversa de ⎯ deve ser realizada utilizando o método de Gauss Jordan, assim monta-se a matriz extendida com a matriz identidade,\n\nA segunda forma foi obtida multiplicando cada linha vezes ⎯, para não utilizar decimais. Realizando as operações elementares necessárias obtemos\n\n⎯ – ⎯ –⎯ –\n\nPortanto a matriz inversa é ⎯ e o vetor solução é ⎯\n\n10. Determine todos os valores de ⎯ para os quais ⎯, em que ⎯ (a)\n\nResolução: Primeiro vejamos como é a matriz O determinante será ⎯\n\nIgualando o determinante a zero temos as soluções: ⎯ e ⎯.\n\n(b) Resolução: Identicamente a parte a) calculamos o determinante\n\nIgualando o determinante a zero temos os valores de ⎯ e ⎯.