Lista9 Gabarito Algebra Linear

Lista 9 - ZAB 0161 - Autovalores e Formas quadráticas 1. Transforme o triângulo de vértices , e realizando uma rotação de e depois uma reflexão na origem. O resultado é diferente se é realizada primeiro a reflexão e depois a rotação? Desenhe os resultados. Resposta: Os vértices são transformados em , , - , e , O resultado é o mesmo, se é rodado e refletido ou refletido e depois rodado. O desenho está na Figura 1. 2. Escreva os autoespaços da matriz Resposta: O polinômio característico é , Resolvendo a equação característica obtemos os candidatos a autovalores e . . Observar que o vetor nulo nunca será autovetor (pela definição) mas o valor zero (nulo) pode ser autovalor. Calculando os autovetores para cada , temos os autovetores e , logo os autoespaços são e 3. Exercício 17 da Seção 9.4 do livro de Kolman ( edição). Resposta no livro do Kolman. 4. Exercício 22 da Seção 9.4 do livro de Kolman ( edição). Resposta: São , e . Observar que a nulidade é 1 em todos. 5. Considere a matriz da forma quadrática (sem comutar os fatores), verifique que e são autovalores de e verifique que é um autovetor de . Figura 1: Triângulo rodado e refletido Resposta: A matriz é Para determinar que é um autovalor devemos resolver se tiver solução não nula, será autovalor. Resolvendo dá a solução . Também resolvendo para , a equação obtemos a solução . Assim e são autovalores e seus autove- tores correspondentes não são o vetor . Então, para verificar se é autovetor deve ser satisfeito , para algum . Então , portanto é autovetor para um autovalor igual a . 6. Diagonalize, se possível, a matriz da forma quadrática (sem comutar os fatores). Resposta: A matriz é Para diagonalizar encontramos os autovalores e autovetores. Resolvendo a equação característica temos . Temos só dois candidatos a autovalores (multiplicidade dois) e (multiplicidade um). Encontrando os autovetores de temos , (observar, se resolve por Gauss-Jordan, o sistema terá duas linhas de zeros). Logo temos dois autovetores para o autovalor , serão e Para temos , assim o autovetor é . Montamos a matriz de autovetores e calculamos a inversa . Logo: 7. Diagonalize, se possível, a matriz da forma quadrática (sem comutar os fatores). Resposta: A matriz é Para diagonalizar encontramos os autovalores e autovetores. Resolvendo a equação característica temos . Temos dois candidatos a autovetores (multiplicidade dois). Determinamos os autovetores para , obtemos Assim um autovetor será Determinando o autovetor para , obtemos um autovetor . Como temos apenas dois autovetores não podemos diagonalizar a matriz, pois o espaço é de três dimensões e a base de autovetores dará um espaço de dimensão dois. 8. Diagonalize, se possível, a matriz da forma quadrática (utilize a matriz simétrica). Também escreva a matriz de autovetores na forma ortonormal. Resposta: A matriz é A equação característica dá , então os candidatos a autovalores são e Os autovetores correspondentes são e . Para diagonalizar com uma transposta verificamos se os vetores são ortogonais , logo são ortogonais, portanto basta agora pegar os autovetores unitários, sendo Diagonalizando temos 9. Diagonalize, se possível, a matriz da forma quadrática - (utilize a matriz simétrica). Também escreva a matriz de autovetores na forma ortonormal. Resposta: A matriz é Para diagonalizar encontramos os autovalores e autovetores. Resolvendo a equação característica temos . Temos três candidatos a autovetores , e . Determinando os autovetores correspondentes temos , e . Verificamos que são ortogonais (verifique). Logo basta utilizar os autovetores unitários para construir a matriz ortogonal, então a diagonalização será