Lista4 Gabarito Algebra Linear

ZAB 0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria analítica Lista 4 - Problemas de aplicação 1. Sejam e números reais tais que e as matrizes e . Qual a relação necessária entre e para que a matriz não seja inversível? Resolução: . Seu determinante é . Para que a matriz não seja inversível seu determinante deve ser nulo, então . Desenvolvendo a expressão temos: . Resolvendo para a equação quadrática temos ______, simplificando temos dois valores e -. Como não podem ser iguais a solução é a segunda que pode ser representada por . 2. Sabendo que e encontre o valor de Resolução: A primeira matriz é idêntica a matriz , com a primeira linha multiplicada por , logo o determinante será o determinante de vezes 5, dando o valor de . A segunda matriz tem as colunas trocadas da matriz , e além disso as duas linhas foram multiplicadas vezes , portanto o determinante da segunda matriz será o determinante da matriz , com sinal trocado e vezes , que dá o valor de . A terceira matriz tem a coluna trocada com a coluna da matriz (o que muda o sinal), e a terceira coluna multiplicada vezes, dando um valor de . 3. Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de peras (p). Observer que para cada maçã arrumada, havia tangerinas. Com dúzias, ele fez lotes de tangerinas, lotes com maçãs e lotes com peras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$ . Arrecadou R$ na venda de todos eles. Calcule t, m e p. Resolução: Considerando , e o número de dúzias de cada fruta, temos que e que dá infinitas soluções, então devemos analisar o resultado. Assume-se que pode tomar qualquer valor, então o número de patos é — . Como e não podem ser negativos então , além disso o termo deve ser múltiplo de , pois o número de patos deve ser inteiro. Assim temos duas alternativas: ou . Se então — , o que não é válido pois o número de patos deve ser maior ao número de marrecos. Portanto a única solução é e — . Cada dúzia pode conter lotes de tangerinas, lotes de maçãs ou lotes de peras. Logo foram feitos lotes de tangerinas, lotes de maçãs e lotes de peras e como o preço é igual para cada lote temos o sistema de equações Resolvendo por Gauss Jordan temos , e . 4. Misturaram-se dois tipos de leite, um com de gordura outro com de gordura para obter, ao todo, litros de leite com % de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados? Resolução: Representando com a quantidade de litros de leite com de gordura, e com a quantidade de litros de leite com de gordura, o resultado final deve ser . O sistema a ser resolvido é Resolvendo por Gauss Jordan temos litros e litros. 5. Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considera um comerciante que tenha gasto R$440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Representamos por o número de patos, o número de galinhas e o número de marrecos, temos o sistema Resolvendo por Gauss Jordan temos que dá soluções, então devemos analisar o resultado. Assume-se que pode tomar qualquer valor, então o número de patos é — . Como e não podem ser negativos então , além disso o termo deve ser múltiplo de , pois o número de patos deve ser inteiro. Assim temos duas alternativas: ou . Se então — , o que não é válido pois o número de patos deve ser maior ao número de marrecos. Portanto a única solução é e — . 6. Uma partícula se desloca pela curva de um polinômio quadrático e passou pelos pontos e . Outra partícula tem como trajetória a curva de outro polinômio quadrático e passou pelos pontos e . Existe a possibilidade de colidirem as partículas? Resolução: Expressamos as trajetórias da primeira e segunda partícula como a trajetória da segunda partícula dá — . Graficando os polinômios vemos que existem dois pontos de interseção, possíveis lugares de colisão. 7. Sabendo que uma partícula, P, percorre uma trajetória linear passando pelos pontos e que uma segunda partícula Q, vai percorrer uma curva quadrática passando pelos pontos e , Em que ponto deve parar a partícula P para que a partícula Q colida com P. Resolução: Os pontos da trajetória linear não correspondem a uma reta vertical então representamos a trajetória da partícula por . Considerando os pontos de passagem temos a equação matricial , resolvendo - . A trajetória quadrática será . Considerando os pontos de passagem temos a equação matricial , daqui - . Para conhecer os pontos comuns igualamos os polinômios e bastaria resolver — . Portanto a partícula pode ser detida em qualquer dos dois pontos — para colidir com a partícula . 8. Uma partícula trafega por uma curva (assuma um polinômio de ordem 3) e foram identificados quatro pontos de passagem , , e . Qual a trajetória da partícula? Resolução: Consideramos a trajetória da partícula. A partir dos pontos de passagem temos a equação matricial Gauss Jordan obtemos o polinômio 9. Uma carga pesada foi desembarcada sobre uma plataforma oblíqua e plana. Identificamos três pontos da plataforma e . Qual o plano da plataforma? Resolução: Podemos representar o plano pela equação a partir dos três pontos conhecidos do plano podemos encontrar os valores de , e . Resolvemos a equação matricial obtendo - - ou -.