Lista7 Gabarito Algebra Linear

Lista 7 - ZAB 0161 - Transformações lineares e Matrizes 19 de maio de 2017 1. Seja , onde . Determine uma base para o núcleo da transformação . Resolução: O núcleo da transformação está formado pelos tal que , isto é . Resolvendo o sistema a única solução é o vetor . Assim não existe conjunto não nulo que seja base do núcleo de . 2. Determine a matriz associada à transformação do exercício 1. Resolução: Podemos escrever A matriz associada será 3. Exercício 17 da Seção 10.1 do livro de Kolman (edição). Seja a transformação linear para a qual temos e (a) Calcule Resolução: Como temos a imagem de e de , expressamos o vetor como combinação linear dos anteriormente mencionados: . Daqui temos que e . Aplicando agora a transformação: . (b) Calcule Resolução: De maneira similar: , onde - e - . Logo - - - . Assim 4. Exercício 19 da Seção 10.1 do livro de Kolman (edição). Seja a transformação linear tal que (a) Determine . Resolução: Como temos a imagem de e de , expressamos o vetor como combinação linear dos anteriormente mencionados: . Daqui temos que e . Aplicando agora a transformação: (b) Determine. Resolução: De maneira similar: , onde - e - . Logo - - - . Assim 5. Determine a matriz associada à transformação do exercício 4. Resolução: Considerando no conjunto de partida a base e a base canônica no conjunto de chegada , observamos que e , logo a matriz é 6. Exercício 11 da Seção 10.2 do livro de Kolman (edição). Seja a transformação linear definida como (a) pertence ao ? Resolução: Se pertence ao núcleo a imagem deve ser . Calculando que não é o polinômio zero, então (b) pertence ao ? Resolução: Novamente, é zero, o polinômio (c) pertence à ? Resolução: Supongo que existe um polinômio , tal que . Então do sistema e temos infinitas soluções, em particular fazendo , então e . Logo , portanto pertence à imagem. (d) pertence à ? Resolução: Para , temos Mas pela definição da transformação a imagem não tem termo constante, assim o polinômio não pertence ao conjunto imagem. Determine uma base para o . Resolução: Calculando o núcleo, e , então . Então do sistema e , e , portanto o polinômio do núcleo terá a forma Uma base para o núcleo é . Determine uma base para a imagem de , Resolução: Toda imagem tem a forma Assim, as imagens são combinação linear dos polinômios Mas o terceiro elemento é combinação linear dos primeiros dois, e esses dois são linearmente independentes, então uma base para a imagem é . 7. Exercício 13 da Seção 10.2 do livro de Kolman (edição). Seja a transformação linear definida como (a) Determine uma base para o . Resolução: Sabemos que o núcleo está formado pelas matrizes cuja imagem é o vetor (matriz). Então o que fornece um sistema de equações e , resolvendo temos: , então , e . Assim, portanto a base é o conjunto vazio. (b) Determine uma base para a imagem de , Resolução: A imagem pode ser representada por Precisamos verificar se essas quatro matrizes são L.I., e conforme a parte (a) acima verifica-se que a única combinação linear do zero são coeficientes todos zero, então é um conjunto L.I. Logo uma base para a imagem é .