Lista5 Gabarito Algebra Linear

Lista 5 - Gabarito April 1, 2017 1. Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ? (a) tais que . Isto representa o conjunto . Sabemos que é espaço vetorial, para verificar que é sub-espaço vetorial bastará validar A1 e M1. Verificando A1: Seja , então e com . Devemos verificar que , isso significa que devem satisfazer que sua primeira menos a segunda componente dá , mas: daqui, Não é sub-espaço vetorial. (b) É sub-espaço vetorial. (c) É sub-espaço vetorial. (d) É sub-espaço vetorial. 2. Seja uma matriz fixada. Determine se os conjunto dados são ou não espaços vetoriais. (a) . O conjunto será espaço vetorial se satisfaz os axiomas A1 até A5 e M1 até M5. Mas, sabemos que é um espaço vetorial com as operações usuais. Assim bastará mostrar que é sub-espaço vetorial, isto é, basta verificar A1 e M1. Verificando A1: Seja , então com . Verificamos se e observar que . de , portanto: pelas propriedades de distributividade do produto de matrizes. A1 é válido. Verificando M1: Seja , então Verificamos se , assim por produto de matriz vezes um escalar, e (propriedades de associação e distribuição do produto de matrizes), então Logo, é sub-espaço vetorial de com as operações usuais, portanto é espaço vetorial com as operações usuais. (b) Não é espaço vetorial (c) É espaço vetorial. 3. Encontre um conjunto de vetores que gera o espaço solução do sistema homogêneo , sendo: (a) . Um conjunto gerador é . (b) . Um conjunto gerador é . 4. Encontre conjuntos geradores para os seguintes subespaços: (a) . Um conjunto gerador é . (b) . Um gerador será (c) . Um gerador será (d) . Um gerador será 5. Encontre uma base para os seguintes espaço de , (a) Todos os vetores da forma , onde . Uma base é . (b) Todos os vetores da forma , onde . Uma base é . (c) Todos os vetores da forma . Um gerador é , mas o conjunto é linearmente dependente, então a base será . Observar: o terceiro vetor é a soma dos dois primeiros. 6. Encontre a dimensão dos seguintes sub-espaços: (a) Todos os vetores da forma , onde . Dimensão . (b) Todos os vetores da forma , onde e . Dimensão . (c) Todos os vetores da forma . Dimensão . Também, um gerador é mas o terceiro vetor é a soma dos dois primeiros, assim são L.D. portanto a base tem apenas dois vetores. Dimensão . 7. Seja o subespaço de formado pelos vetores tais que . Obtenha uma base de tal que e pertencem a . Observar que é um plano, então basta obter dois vetores direção do plano e depois podemos obter o produto vetorial desses dois que não estará em pois é ortogonal aos dois vetores obtidos. Uma resposta é o conjunto 8. a. Mostre que os polinômios: , , formam uma base de . Verificará que esse conjunto é L.I. e que gera qualquer polinômio quadrático. b. Expresse o polinômio como combinação linear dos elementos da base. Resposta: 9. Encontre os valores tais que o sistema homogêneo tenha solução não nula (não trivial). E para estes valores de encontre uma base para o conjunto solução, para as seguintes matrizes : (a) . Para essa matriz com uma base (b) . Para essa matriz com uma base , e com uma base . (c) . Para essa matriz com uma base , e , e . (d) . Para essa matriz com uma base , e e , e e , e e . 10. Seja o espaço vetorial de todos os polinômios de ordem (com as somas e multiplicação por escalar usuais). Seja o subespaço de , que consiste de todos os polinômios tais que . E seja o subespaço de , que consiste de todos os polinômios tais que . Encontrar uma base para os espaços: (a) . Uma base é . (b) . Uma base é . (c) , (satisfazem as duas condições). Uma base é . 4