Funções de Uma Variável: Análise e Esboços de Gráficos

Lista 5 Funções de Uma Variável Esboço de Gráficos e Problemas de Otimização 1 Para as próximas funções aEncontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente bEncontre os valores de máximo e mínimo lo cais cEncontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dEncontre as assíntotas horizontais e verticais eEsboce o gráfico utilizando as informações dos itens anteriores a x2 13 b 3x23 x c x 2 3 2 1 d x cosx e x13x 4 f lnx4 27 g ln1 lnx h e 1 x 1 i lntg2x j ex x2 9 k x tg x π2 x π2 l ecosx m 1 1 cosx 2π x 2π n t 3 t2 4 2 Para as seguintes funções encontre as assín totas inclinadas e esboce o gráfico e para isso aEncontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente bEncontre os valores de máximo e mínimo lo cais cEncontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dEncontre as assíntotas horizontais e verticais e inclinadas eEsboce o gráfico utilizando as informações dos itens anteriores a x2 x1 b x2 x12 c 1 x2 d 10 12x 4x2 3 Uma calha deve ser construída com uma fo lha de metal de largura 30cm dobrandose para cima 13 da folha de cada lado fazendose um ân gulo θ com a horizontal Como deve ser escolhido θ de forma que a capacidade de carregar a água na calha seja máxima 4 Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um quadrado de 60cm de largura cor tando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados Encontre o maior volume que essa caixa pode ter Justifique detalhadamente porque o máximo existe 5 Uma caixa retangular com uma base qua drada e sem tampa e de volume de 216 cm3 deve ser construída Quais devem ser as dimensões da caixa para minimizar a área superficial da caixa Qual é a área superficial mínima 6 Uma lata cilíndrica sem topo é feita para re ceber Vcm3 de líquido Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata 7 Uma caixa com tampa conforme a figura abaixo é feita a partir de uma folha de papel de 12cmx12cm Encontre a caixa que optimiza o vo lume 8 Um recipiente cilíndrico para armazenar re síduos radioativos deve ser construído a partir de chumbo e têm um espessura de 6 cm veja a fi gura Se o volume do cilindro externo é de 16πm3 encontre o raio e a altura do cilindro interno que vai resultar em um recipiente de máxima capacidade de armazenamento 9 Seja v1 a velocidade da luz no ar e v2 a velo cidade da luz na água De acordo com o principio de Fermat um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto B na água por um caminho ACB que minimiza o tempo gasto Mostre que sen θ1 sen θ2 v1 v2 10 Uma esfera de raio r está inscrita em um cone circular reto Encontre o volume mínimo do cone Justifique detalhadamente porque existe o cone de volume mínimo 2 Respostas dos Exercicios Dominio 0 x e Crescente nunca 1 a Crescente se0 x loux1 Concava para cima se 0 x 1 Derivadas iguais a zero x 1oux O0oux 1 1 Concava para cima se x lou yw xX 2 ROUX 1 05 10 20 25 10 4 5 j Dominio x 3 e x22x9 2 1 1 2 Primeira derivada x9 b Crescente se 0 x 8 Crescente Derivadas iguais a zero x 8 x30u 3x1v100ux 1v10 Derivada ndo existe x 0 2 Derivada muito complicada para ser analisada Concavidade para baixo x 0 ou x 0 0 7 6 4 3 4 2 2 6 5 2 1 i 2 1 d Primeira derivada senx ecos Pontos Criticos 27k Cres cente se senx 0 ts Ou seja se 27k 1 x 27tk Crescente Exceto nos pontos criticos x 2 Segunda derivada e sen x cosx Concava para cima se cosx 0 x 5 eOOSX 1 cosx cosx Crescente se 5 1 27k arccos v5 1 x 5 5 1 5 27k 27 arccos vs1 E atil a aproximagao f Crescente se x 0 1 Concava para cima se 3 x Qou0x 3 arccos v5 i 090455 35 30 0 25 15 20 10 5 5 05 6 4 2 2 4 6 g 3 m Crescente se 1 x 0oum x 27 12 Pontos Criticos x m ou x 7 Concava para baixo nunca 2 fe 1 Assintotas verticais na origem lim Tcosxy 4 ih a re 2 4 noe ib 3 Neste caso queremos maximizar o volume que s uma calha pode suportar Primeiramente observa lume de uma calha desta forma é a mos que 0 vo a Sa area de secdo transversal vezes comprimento da ca oS lha Assim para um determinado comprimento a n fim de maximizar o volume devemos maximizar a Derivada f 2 Area da secdo transversal 342473 Derivada no existe t 2 t 2 Para obter uma férmula para a area da secdo a transversal vamos refazer 0 desenho acima um Decrescente se 23 t 23 pouco Derivada se anula t 23 out 23 b 2 Segunda derivada f 2e5t36 36 Sg 9t4 10 ih 10 i 6 6 Concava para cima se Va t2out VE OX 49 4 10 A area seccional pode ser obtida somando a area 3 72 1 ee 3 do retangulo e as areas dos triangulos Como b y é 10 cos 8 eh 10sen 0 temos 4 1 A 10h2 Sen 100sen 0 10 sen 810 cos 8 A 100sen 0 sen 6 cos 8 Podemos assumir que 0 pertence ao intervalo 2 a 00n2 pm 21 x Calculando a derivada temos Assintota inclinada y x 1 Al 100cos 0 cos 0 sen 9 1 100cos 6 cos 0 1 cos 6 2 2 0 1002cos 8 cos 0 1 3 1002cos01cos1 4 ko 5 E logo a derivada se anula quando 2 cos 0 1 ou seja cos8 12 e logo 8 73 ou quando d Crescente se x 3 cos 8 1 0 ou seja cos0 1e 0 7 a 2 Como A0 0 Az3 1299 e Az 100 us 2x246x45 Temos que a area seccional maxima ocorre quando Assintotas inclinadas y 2x 3ey 2x3 0 73 4 5 Sx 864 x x2 O mínimo existe pois x 0 Sx e x Sx O mínimo ocorre em x 6 3 2 10 V πR2h 3 πr2h2 3h 2r O mínimo ocorre quando h 4r 5