Vetores e Geometria Analítica - Estudo das Propriedades e Exemplos

VETORES e GEOMETRIA ANALITICA Sumário Sumário XIII Vetores Casos Particulares de Vetores Exemplos i AB FG e EG são coplanares j AC DB e CF são coplanares k AE é ortogonal ao plano ABC l AB é ortogonal ao plano BCG m AB DC e CF são coplanares n AE é ortogonal ao plano ABC o AB é ortogonal ao plano BCG p DC é paralelo ao plano HEF 4 Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio a módulo αv α v isto é o comprimento de αv é igual ao comprimento de v multiplicado por α b direção αv é paralelo a v c sentido αv v tem o mesmo sentido se α 0 e contrário se α 0 Se α 0 v 0 então αv 0 No triângulo ABC Figura 133 seja AB a e AC b Construir um representante de cada um dos vetores Dados os vetores a b e c Figura 134 apresentar graficamente um representante do vetor x tal que Na Figura 135 estão representados os vetores coplanares u v e w Indicar na própria figura os vetores De modo geral dados dois vetores quaisquer v₁ e v₂ nãoparalelos para cada vetor v representado no mesmo plano de v₁ e v₂ existe uma só dupla de números reais a₁ e a₂ tal que v a₁v₁ a₂v₂ Observação A escolha proposta da base i j deve ser exclusivamente a simplificação A cada ponto Px y do plano cartesiano o vetor v OP x i y j Figura 142 A partir da condição de igualdade de dois vetores concluise que 3 a₁ a₂ 10 5 a₁ 2 a₂ 4 Por outro lado sempre que tivermos v AB ou v B A podemos também concluir que B A v ou B A AB isto é o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B Retornando à Figura 146 onde v 3 1 temse B A v 2 3 3 1 1 4 D C v 1 2 3 1 4 3 P O v 0 0 3 1 3 1 Ainda uma ilustração na Figura 147 os vértices do triângulo são os pontos A4 1 B5 3 e C3 5 os vetores v e w indicados são v AB B A 1 2 v BC C B 2 2 v CA A C 1 4 Observamos ainda que v w 0 0 0 Portanto F A frac13 AB 2 4 0 3 0 3 G F frac13 AB 0 3 2 1 2 2 Sendo A2 1 e B5 2 vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M4 3 o ponto de interseção das diagonais determinar os vértices C e D Solução Em Adição de Vetores Exemplo 4 página 10 demonstrouse que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio isto é AM MC e BM MD Então pela Figura 149 temse C M MC M AM e D M MD M BM ou A BC Mas AM M A A 2 2 Portanto C 4 3 2 6 6 5 e D 4 3 1 1 3 4 Seja vecv x1 y1 e vecv x2 y2 Portanto M left fracx1x22 fracy1y22 right Exemplo O ponto médio do segmento de extremos A2 3 e B6 2 é M left frac262 frac322 right ou M 2 frac52 Paralelismo de dois Vetores Vimos que se dois vetores vecu x1 y1 e vecv x2 y2 são paralelos existe um número real alpha tal que vecu alpha vecv ou seja x1 y1 x2 alpha y2 onde fracx1x2 fracy1y2 alpha Esta é condição de paralelismo de dois vetores isto é dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais Mas PA A P 1 x 2 1 e PB B P 5 x 4 logo k1 x 2 5 x 4 ou 1² 2² 5 x² 4² e x 3 Portanto o ponto é P3 0 Solução a Basta multiplicar o vetor por 3 3v 32 1 6 3 b Basta multiplicar o vetor por 12 12v 122 1 1 12 c Um vetor unitário obtido a partir de v é vv 2 14 1 25 15 e é o servidor de v Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 4 e mesmo sentido de v basta multiplicar o vetor por 4 425 15 85 45 d Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 2 e sentido contrário ao de v basta multiplicar o vetor por 2 225 15 45 25 Assim como no plano a cada ponto Px y z do espaço irá corresponder o vetor OP xi yj zk isto é as próprias coordenadas x y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica A Figura 155a apresenta um ponto Px y z no espaço e a Figura 155b o correspondente vetor v OP que representa a diagonal do paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores xi yj e zk Igualdade Operações Vetor Definido por Dois Pontos Ponto Médio Paralelelismo Módulo de um Vetor Observação No plano todo conjunto v1 v2 de dois vetores nãoparalelos constitui uma de suas bases isto é todo vetor deste plano é combinação linear de v1 e v2 Representar no gráfico o vetor AB e o correspondente vetor posição nos casos a A1 3 e B3 5 b A1 4 e B4 2 29 A Figura 165 apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2 1 e 3 Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido sabendo que A212 46 a A2 1 3 B1 5 e C1 0 4 36 Representar no mesmo sistema Oxy z o vetor v 11 3 com origem nos pontos O0 0 0 A340 B24 2 C4 0 e D3 4 2 3 Dados os vetores u 4 α 1 e v α 2 3 e os pontos A 4 1 2 e B 3 2 1 determinar o valor de α tal que u v BA 5 Solução BA A B 1 3 v BA 2 3 1 3 α 1 6 Substituindo e resolvendo a equação dada vem 4 α 1 α 1 6 5 4α 1 α1 16 5 4α 4 α 6 5 3α 7 α 73 Definição Geométrica de Produto Escalar Se u e v são vetores nãonulos e θ o ângulo entre eles então u v u v cosθ 2 Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC da Figura 21 temos u v ² u ² v ² 2u v cosθ 3 Por outro lado de acordo com o exemplo 2 item anterior u v u ² v ² 2u v 4 Comparando as igualdades 3 e 4 temos u ² v ² 2u v u ² v ² 2u v cosθ e dai u v u v cosθ 0 θ 180 Conclusão O produto escalar de dois vetores nãonulos é igual ao produto de seus módulos pelo coseno do ângulo por eles formado Exemplos 1 Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais a u 1 2 3 e v 4 5 2 b i e j Solução a u v 14 25 32 4 10 6 0 b i j 1 0 0 0 1 0 10 01 00 0 Observação O vetor 0 é ortogonal a todo vetor isto é 0 v 0 para todo v Cálculo do Ângulo de Dois Vetores Da igualdade uv uvcos θ vem cos θ uv uv fórmula a partir da qual se calcula o ângulo θ entre os vetores u e v nãonulos Exemplos 1 Calcular o ângulo entre os vetores u 1 1 4 e v 1 2 2 Solução cos θ uv uv 114122 1116144 128 18 9 3 2 2 Logo θ arc cos 2 2 45 2 Sabendo que o vetor v 2 1 1 forma ângulo de 60 com o vetor AB determinado pelos pontos A3 1 2 e B4 0 m calcular m Solução De acordo com a igualdade 6 temse cos 60 vAB vAB Como cos 60 12 isto é AB B A B A 1 1 m 2 vem 12 4111m4m 2 1 m 2 12 m² 4m 6 2 6m² 24m 36 48m4m² 3 Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC sendo A3 3 B2 1 2 e C1 0 2 Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula 6 cos α v v v u x y z 1 0 0 x v cos β v j v x y z 0 1 0 y v cos γ v k v x y z 0 0 1 z v Observação Notemos que os cosenos diretores de v são precisamente as componentes do vetor de v v v x y z v x v y v z v cos α cos β cos γ Como o vetor é um vetor unitário decorre imediatamente cos² α cos² β cos² γ 1 Exemplos 1 Calcular os ângulos diretores de v 1 1 0 Solução v 110 2 Utilizando 7 temos cos α x v 12 α 45 cos β y v 12 β 135 cos γ z v 0 γ 90 2 Os ângulos diretores de um vetor são α 45 e 60 Determinar α Solução Substituindo em 8 β por 45 e γ por 60 vem cos² α cos² 45 cos² 60 1 cos² α 2 2² 12² 1 cos² α 1 24 14 cos² α 14 Logo α 60 ou α 120 cos 60 x v ou 12 x 2 onde x 2 Como v 4 isto é x² y² z² 2 vem 2² y² z² 16 y² 12 y 23 Tendo em vista que β ângulo de v com j é obtuso 90 β 180 na igualdade cos β y v o valor de y é negativo Portanto v 2 23 0 Projeção de um Vetor sobre Outro Sejam os vetores u e v nãonulos e θ o ângulo entre eles Pretendemos decompor um dos vetores digamos v tal que v v₁ v₂ sendo v₁ u e v₂ u A Figura 210 ilustra as duas situações possíveis podendo ser θ um ângulo agudo Figura 210 a ou obtuso Figura 210 b Exemplos 1 Determinar o vetor projeção de v 2 3 4 sobre u 1 1 0 2 Dados os vetores v 1 3 5 e u 4 2 8 decompor v como v v₁ v₂ sendo v₁ u e v₂ u a Pela Figura 210 e por 10 temos v₁ projₕ v 13 12 0 b Sendo v v₁ v₂ temse v₂ v v₁ 1 3 5 2 1 4 3 2 1 3 Sejam os pontos A1 1 2 B2 1 1 e Cm 5 3 a Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A b Determinar o ponto H pê da altura relativa ao vértice A Solução a Sendo A ângulo reto os vetores AB e AC Figura 211 são ortogonais isto é AB AC 0 Como AB 3 2 1 e AC m1 4 1 vem 3m1 24 10 0 3m 3 8 1 Logo 3m 6 m 2 b O ponto H é dado por H B BH sendo BH projBC BA BC BC Mas BA BC 3 2 1 0 6 2 0 12 2 14 e BC BC 0 6 2 0 6 2 0 36 4 40 Logo BH 1440 0 6 2 720 0 6 2 0 2110 710 ou H 2 1110 1710 Produto Escalar no Plano Considerando os vetores u x₁ y₁ e v x₂ y₂ temos a u v x₁ x₂ y₁ y₂ b validade das mesmas propriedades do produto escalar c seja θ o ângulo entre u e v então cos θ u v u v d u v se e somente se u v 0 e se α e β são os ângulos diretores de u v então 9 Calcular u v u w sabendo que u v 0 u 2 e w 5 10 Os pontos A B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm Calcular AB AC AB CA Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz que forme 60 com o vetor mathbfv Determinar o vetor mathbfv de módulo 5 sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor mathbfv mathbfi 2 mathbfk e forma ângulo obtuso com o vetor mathbfr Determinar o vetor mathbfv nos casos a mathbfv é ortogonal ao eixo Oz mathbfv 8 forma ângulo de 30 com o vetor mathbfr e ângulo obtuso com j b mathbfv é ortogonal ao eixo Ox mathbfv 2 forma ângulo de 60 com o vetor mathbfj e ângulo agudo com mathbfk O vetor mathbfv é ortogonal aos vetores mathbfu 1 2 0 e mathbfw 2 0 1 e forma ângulo agudo com o vetor mathbfr Determinar mathbfv sabendo que mathbfv sqrt21 No determinante a seguir os elementos da segunda linha são o triplo dos elementos da primeira 1 2 0 3 6 c se uma das linhas for constituída de zeros o determinante é zero Por exemplo 5 7 0 0 0 d Um determinante de ordem 3 pode ser dado por a b c x1 y1 z1 y1 z1 x1 y1 c x2 y2 z2 x2 y2 z2 A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha Notemos que os três determinantes de ordem 2 desta expressão são obtidos a partir das duas últimas linhas desprezandose nelas pela ordem a 1ª coluna a 2ª coluna e a 3ª coluna trocandose o sinal do determinante intermediário Por exemplo 3 2 4 3 5 3 2 2 1 4 2 1 653 2102 164 3 24 28 1 Observação Todas as propriedades dos determinantes acima citadas fizeram referência às linhas da matriz pelo fato de não ao invés do produto vetorial haver menção somente a linhas No entanto estas propriedades valem também para as colunas Definição do Produto Vetorial Chamamos o produto vetorial de dois vetores u x1 i y1 j z1 k e v x2 i y2 j z2 k tomados nesta ordem e se representa por u v Dados os vetores mathbfu 3 0 1 mathbfv 2 1 1 e mathbfw 1 2 0 determinar extprojmathbfv extprojmathbfw Tendo em vista que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero basta mostrar que u v u 0 e u v v 0 Temos então u v u y1 z1 x1 x1 y1 x1 y1 z1 x1 y1 z1 0 0 primeira e segunda linhas iguais Logo u v é ortogonal a u e a v De forma análoga demonstrase que u v v 0 Como o vetor v u tem a mesma direção de u v apenas seus sentidos são opostos também é ortogonal tanto a u como a v A Figura 32 apresenta os vetores u v e v u ortogonais ao plano π determinado por u e v Exemplo Dados os vetores u 3 1 2 e v 2 2 5 temse u v i j k 3 1 2 2 2 5 e u v u 1 19 8 e u v v 1 19 8 2 2 5 2 38 40 0 Determinar os vetores projeção de mathbfv 4 mathbfi 3 mathbfj 2 mathbfk sobre os eixos cartesianos x y e z Sentido de u v O sentido do u v poderá ser determinado utilizandose a regra da mão direita Figura 33 Sendo θ o ângulo entre u e v suponhamos que o 1º vetor sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção do vetor então o polegar estendido indicará o sentido do u v A Figura 33 b mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida Observamos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão quando então o dedo polegar estará apontando para baixo Caso tenhamos dúvidas sobre o sentido de u v podemos associar estes dois vetores a uma dupla de vetores unitários escolhidos entre i j e k Por exemplo associando u v com i j e tendo em vista que o sentido de x daria o sentido do u v Da mesma forma temos na Figura 34 apresentamos um dispositivo mnemônico para lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com estes três vetores unitários que determinam o sistema cartesiano Associando estes vetores a três pontos distintos de uma circunferência adotando o sentido antihorário o produto vetorial de dois vetores sucessivos Para cada um dos pares de vetores mathbfu e mathbfv encontrar a projeção ortogonal de mathbfv sobre mathbfu e decompor mathbfv como soma de mathbfv1 com mathbfv2 sendo mathbfv mathbfv1 mathbfv2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores vecu e vecv a medida da base é vecu e a altura é vecvsen heta a área A deste paralelogramo é A vecu vecv sen heta ou seja A vecu imes vecv O resultado dado em 7 poderá ser expresso por a área do paralelogramo determinado pelos vetores vecu e vecv é numericamente igual ao comprimento do vetor vecu imes vecv Vamos comprovar este resultado por meio de um exemplo particular tomando os vetores vecu 2 1 2 e vecv 3 1 1 Temos então vecu imes vecv 0 0 6k e vecu imes vecv 6 A Figura 36 mostra claramente que o paralelogramo determinado por vecu e vecv tem 6 ua unidades de área e o vetor vecu imes vecv tem 6 uc unidades de comprimento Quer dizer numericamentes estas medidas são iguais Para encerrar o estudo do produto vetorial as conclusões finais 1 O produto vetorial não é associativo isto é em geral vecu imes vecv imes vecw eq vecu imes vecv imes vecw Basta considerar por exemplo veci imes vecj imes veck vec0 enquanto que veci imes vecj imes veck veci Sejam mathbfA 1 3 mathbfB m 3 e mathbfC 0 4 vértices de um triângulo Solução 1 Sabemos que o vetor vecu imes vecv é simultaneamente ortogonal a vecu e vecv Como multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção todos os vetores do tipo alpha vecu imes vecv alpha in mathbbR são também ortogonais a vecu e vecv Portanto este problema tem infinitas soluções Se chamarmos vecx x y z todos os vetores ortogonais a vecu e vecv essas mesmas soluções seriam obtidas resolvendose o sistema begincases x y 4z 0 3x 2y 2z 0 endcases ou b A partir do vecu imes vecv ou de qualquer alpha vecu imes vecv alpha eq 0 obtémse dois vetores unitários vecu1 fracvecu imes vecvvecu imes vecv frac10 10 515 e vecu2 vecu1 fracvecu imes vecvvecu imes vecv frac2 2 33 a Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A b Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC c Determinar o ponto H pé da altura relativa ao vértice A 5 Determinar a distância do ponto P5 1 2 à reta que passa por A3 1 3 e B4 1 1 Seja d a distância do ponto P à reta r Figura 39 Os vetores overlineAB e overlineAP determinam um paralelogramo cuja altura relativa à base AB é a distância d de P a r Logo de acordo com o problema anterior temos d fracoverlineAB imes overlineAPoverlineAB Como overlineAB 1 2 2 overlineAP 2 0 1 e overlineAB imes overlineAP 2 0 1 wedge 1 2 2 2 0 1 vem d fracsqrt293 uc Determinar o valor de k para que os vetores mathbfu 2 3 2 e mathbfv k 8 sejam a paralelos b ortogonais 86 Vetores e Geometria Analítica Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores a 4 mathbfi 3 mathbfj b 2 3 c 1 1 88 Vetores e Geometria Analítica Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si em que um deles seja paralelo a mathbfv 6 mathbfi 8 mathbfj 90 Vetores e Geometria Analítica Determinar aproximadamente o ângulo entre os pares de vetores a mathbfu 2 0 e mathbfv 4 2 b mathbfu 1 1 e mathbfv 1 2 Produto Misto Determinar o valor de alpha para que seja 45 o ângulo entre os vetores mathbfu 2 1 e mathbfv 1 a Cap 4 Produto Misto Para cada um dos pares de vetores mathbfu mathbfv e mathbfv 8 6 mathbf55 mathbfv2 3 22 encontrar mathbfv1 Cap 4 Produto Misto Portanto o volume do tetraedro é Vt frac16 36 6 uv 20 Determinar m e n para que se tenha m n 2 4 1 3 2 Equação Vetorial da Reta Consideremos um ponto Ax₁ y₁ z₁ e um vetor nãonulo v a b c f Escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r g Como s r os vetores diretores de s são os mesmos de r Para v 1 2 3 temse c Com procedimento idêntico a partir das equações 7 podese obter as equações A Figura 55 mostra a reta r que passa por A1 5 3 e é paralela ao vetor vecv 1 0 2 e portanto begincases x 1 t y 5 z 3 2t endcases Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado costumase fazer uma simplificação expressando as equações só pelas constantes Para o caso particular acima dizse que as equações da r são begincases x 2 y 3 endcases As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores vecv1 2 3 4 e vecv2 0 1 1 Então a reta r tem a direção do vetor vecv vecv1 imes vecv2 beginvmatrix hati hatj hatk 2 3 4 0 1 1 endvmatrix b Se duas retas não são coplanares elas ditas reversas É o caso do exemplo 2 Figura 513 pois as retas além de não concorrentes são nãoparalelas e portanto nãocoplanares 19 Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por A3 2 4 e é paralela ao eixo dos x b A2 2 4 e é perpendicular ao plano xOy c A2 3 4 e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y d A1 3 e B3 3 4 27 Dados as retas r₁ x 1 t y 3 2t e r₂ x t e y 1 t z 2 t encontrar equações reduzidas na variável x da reta que passa por A0 1 0 e pelo ponto de interseção de r₁ com r₂ 19 a y 2 b x 4 t 4 3 t 3 c x 3 y 1 4t z 3 t 20 y 5 x 4 x 4 z 3 21 a 60 b 30 c θ arc cos23 4811 22 a 7 ou 1 b 15 23 a m 7 b 1 ou 3 2 24 a x 3 t b x 2 t y 6t c y 1 5t z 3t 25 a 2 1 3 b 1 2 2 c reversas d 3 8 12 26 a 3 b 4 27 y x 1 z 3x 28 7 1 3 4 4 2 29 a 4 5 7 e 0 3 1 30 y 3x z 5 31 a x 2 8 y z 32 θ arc cos306 33 x 1 t y 2 5t z 0 34 a x 3 2h y 4 z 2 h O Plano Equação Geral do Plano Seja Ax1 y1 z1 um ponto pertencente a um plano π e n a b c n 0 um vetor normal ortogonal ao plano Figura 61 Como n π n é ortogonal a todo vetor representado em π Então um ponto Px y z pertence a π se e somente se o vetor AP é ortogonal a n isto é n P A 0 ou a b c x x1 y y1 z z1 0 ou a b c x x1 by y1 cz z1 0 ou ainda ax by cz ax1 by1 cz1 0 Fazendo a x1 b y1 cz1 d obtemos ax by cz d 0 Esta é a equação geral do plano π Observações a Assim como n a b c é um vetor normal a π qualquer vetor k n k 0 é também vetor normal ao plano b É importante notar que os coeficientes a b e c da equação 1 representam as componentes de um vetor normal ao plano Por exemplo se um plano π é dado por π 3x 2y z 1 0 um de seus vetores normais é n 3 4 1 c Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada Assim por exemplo se na equação anterior fizermos x 4 e y 2 teremos 34 22 z 1 0 12 1 z 0 12 z 9 portanto o ponto A4 2 9 pertence a este plano Exemplos 1 Obter uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A2 1 3 e tem n 3 4 2 como um vetor normal Solução Como n é normal a π sua equação é do tipo 3x 2y z d 0 e sendo A um ponto do plano suas coordenadas devem verificar a equação isto é 32 21 d 0 6 2 d 0 e d 4 portanto uma equação do plano π é 3x 2y z 0 e d 1 portanto 4x 5y 7z 11 0 é uma equação geral do plano Existem outra maneira de se obter uma equação geral do π como Px y z representa um ponto qualquer do plano os vetores A P u e v são coplanares Figura 65 e portanto o produto misto deles é nulo isto é Assim obtémse uma equação geral do plano desenvolvendo o 1 membro da igualdade 2 3 1 0 que é equivalente à equação 4x 5y 7z 11 0 2 Dado o plano π determinado pelos pontos A1 1 2 B2 1 3 e C1 2 6 obter um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π x y 1 e y 4 2h t z t 4 Determinar uma equação geral do plano π que contenha as retas r1 y x 1 e r2 z 3x 2 Como r2 v2 v1 as retas r1 e r2 são paralelas os vetores v1 v2 v2 não são vetores diretores do plano procurado p A hAB tAC onde P representa um ponto qualquer deste paralelogramo Observamos que para h t 0 obtémse o ponto A P A para h 0 e t 1 obtémse o ponto B P B para h 0 e t 1 obtémse o ponto C P C para h t 1 obtémse o ponto D P D para t 12 e h 0 1 obtémse o segmento MN onde M e N são os pontos médios de AC e BD respectivamente e assim por diante Ângulo de Dois Planos Sejam os planos π₁ e π₂ com vetores normais vecn1 2 1 1 e vecn2 1 1 0 respectivamente Figura 617 Chamase ângulo de dois planos π₁ e π₂ o menor ângulo que um vetor normal a π₁ forma com um vetor normal a π₂ Sendo θ este ângulo temse cos θ fracvecn1 cdot vecn2vecn1 vecn2 com 0 leq θ leq fracpi2 7 Como cos θ 0 quando 0 leq θ leq fracpi2 o numerador de 7 deve ser positivo razão pela qual tomouse o produto escalar em módulo pois este poderá ser negativo quando o ângulo entre os vetores for suplementar de θ Exemplo Determinar o ângulo entre os planos π₁ 2x y z 3 0 e π₂ x y 4 0 Solução Sendo vecn1 2 1 1 e vecn2 1 1 0 vetores normais a π₁ e π₂ de acordo com 7 temse cos θ fraclangle 2 1 1 1 1 0 ranglesqrt22 12 12 sqrt12 12 02 frac2 1 0sqrt6 cdot sqrt2 frac32sqrt3 fracsqrt32 Logo θ arc cos fracsqrt32 fracpi6 Planos Perpendiculares Consideremos dois planos π₁ e π₂ e sejam vecn1 e vecn2 vetores normais a π₁ e π₂ respectivamente Pela Figura 618 concluise imediatamente π₁ π₂ vecn1 cdot vecn2 0 Exemplo Verificar se π₁ e π₂ são planos perpendiculares a π₁ 3x y 4 2 0 e π₂ 2x 6y 3z 0 b π₁ x y 4 0 π₂ x 2 h 2t z h t Solução a Sendo vecn1 3 1 4 e vecn2 2 6 3 vetores normais à π₁ e π₂ respectivamente e como vecn1 cdot vecn2 32 16 43 0 concluise que π₁ e π₂ são perpendiculares b O vetor vecn 1 1 0 é um vetor normal a π₁ Teremos que encontrar um vetor vecn2 normal a π₂ Como vecn2 1 1 0 e vecv 2 1 3 são vetores diretores de π₁ podemos considerar vecn2 vecu imes vecv beginvmatrix hati hatj hatk 1 1 0 2 1 3 endvmatrix 1 hati 0 hatj 1 hatk