Otimização de Carteiras: Fundamentos e Técnicas Estatísticas

Universidade Presbiteriana Mackenzie FUNDAMENTOS DE MERCADO DE CAPITAIS Professor revisor Marcio Shimada Universidade Presbiteriana Mackenzie TRILHA DE APRENDIZAGEM 3 Otimização de carteiras Objetivo explicar como um investidor pode escolher uma carteira eficiente e aplicar técnicas estatísticas de otimização de carteira com base na relação médiavariância Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 3 Fundamentos de mercado de capitais 31 Otimização de carteiras Olá estudante Nesta trilha de aprendizagem focaremos em carteiras de investimento A pergunta básica que queremos responder é o que ocorre com nossos investi mentos quando começamos a adquirir mais de um ativo financeiro Em outras palavras quais são os impactos em nossos investimentos quando constituímos uma carteira Como será determinado o retorno desse investimento Como será afetado o risco que assumiremos Essas perguntas serão respondidas possibilitando a compreensão não só do que é uma carteira de investimentos mas também o conceito de diversificação Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 4 Fundamentos de mercado de capitais 32 O que é uma carteira de investimentos Até o momento discutimos apenas as decisões de investimento considerando ativos financeiros individuais porém também podemos adquirir diversos ativos financeiros para compor nossos investimentos Esses ativos formam uma cesta que possui ativos de diferentes tipos e com diferentes níveis de risco e retorno Chamamos essa cesta de ativos de carteira ou portfólio de investimentos Formalizando esse conceito apresentamos a seguir a definição dada por Assaf Neto 2016 p 383 para carteira conjunto de ativos mantidos por um investidor Pode ser formada por ações títulos de renda fixa obrigações etc Se você já aplicou em algum fundo de investimento perceberá que se trata de carteiras de investimentos que contêm uma característica específica importante a delegação por parte do investidor da tomada de decisão para os analistas de investimento Esses analistas são responsáveis por gerenciarem as aquisições do fundo Enquanto investidor institucional um fundo de investimentos aplica os recursos de diversos cotistas em ativos financeiros buscando gerar os maiores ganhos possíveis por meio da busca pela participação em investimentos a que um indivíduo provavelmente não teria acesso respeitando seu regulamento Figura 8 Carteira ou portfólio de investimentos Legenda Diversos ativos financeiros que compõem uma cesta ou carteira Fonte httppt123rfcom Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 5 Fundamentos de mercado de capitais Para refletir O que é melhor investir em um fundo de investimentos ou por conta própria Em qual situação você acredita que sua carteira de investimentos será formada da melhor maneira O principal objetivo em uma carteira de investimentos é produzir um investimento melhor por meio da combinação de diferentes ativos Isso é o que chamamos de diversificação conceito que será apresentado mais adiante Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 6 Fundamentos de mercado de capitais 33 Como calcular o retorno de uma carteira Considerando que você construirá uma carteira de investimentos e não mais adquirirá um único ativo surge uma pergunta importante como se deve calcular o retorno dessa carteira A resposta a essa pergunta é simples devemos considerar o retorno de cada ativo e sua proporção na composição da cesta de ativos financeiros Resgataremos os ativos apresentados na Trilha 2 e a partir desses ativos montaremos uma carteira de investimento contendo 10 do ativo A 20 do ativo B 30 do ativo C e 40 do ativo D Esses dados serão apresentados na tabela que segue Ativo financeiro Retorno médio am Composição A 1 10 B 3 20 C 2 30 D 3 40 Tabela 3 Composição da carteira de investimentos Legenda Opções de investimentos Fonte Elaborada pelo autor 2016 Para calcular o retorno da carteira que formamos podemos utilizar a formulação matemática da média ponderada com os dados dos retornos conforme apresentado a seguir ROSS WESTERFIELD JAFFLE 2015 Em que é o retorno médio da carteira de investimentos e é a proporção do ativo i na carteira de investimentos Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 7 Fundamentos de mercado de capitais Vamos calcular o retorno dessa nossa carteira Esse cálculo significa que o retorno médio da carteira que criamos é de 25 Isto é se construirmos uma carteira de investimentos contendo as proporções indicadas de cada um desses ativos podemos esperar um retorno médio de 25 Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 8 Fundamentos de mercado de capitais 34 Risco de uma carteira de investimento e diversificação A noção de risco de uma carteira de investimentos é um pouco mais complexa do que a de retorno Isso ocorre porque os ativos financeiros que compõem a carteira podem ter diferentes níveis de correlação O conceito de correlação entre os ativos é muito importante para entendermos o risco de uma carteira então vamos a ele Em primeiro lugar podemos partir para uma compreensão intuitiva desse termo e como ele se aplica a nosso caso Quando dizemos que dois ativos possuem correlação perfeita positiva estamos querendo dizer que os fatores que afetam um ativo influenciam também o outro da mesma forma Ou seja quando o retorno de um ativo aumenta o retorno do outro ativo também aumenta na mesma proporção O contrário também é verdadeiro quando o retorno do primeiro ativo cai o retorno do segundo ativo também cai na mesma proporção O gráfico a seguir demonstra essa relação Retorno Gráfico 2 Ativos financeiros com correlação perfeitamente positiva Legenda Os ativos variam igualmente Fonte Elaborado pelo autor 2016 Nesse gráfico podemos perceber que caso criemos uma carteira com esses dois ativos possuiremos o mesmo nível de risco que os ativos individuais Isso ocorre porque os ativos variam da mesma forma 30 20 10 Tempo 0 13 0 11 9 5 0 3 1 10 ivo At ivo At Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 9 Fundamentos de mercado de capitais E a situação oposta Se colocarmos na mesma carteira dois ativos que possuem uma correlação negativa e perfeita Isso significa que os ativos variarão de forma completamente oposta Quando houver uma queda no retorno de um o retorno do outro aumentará proporcionalmente O contrário também é verdadeiro quando houver um aumento no retorno de um o retorno do outro cairá proporcionalmente A ilustração dessa situação pode ser vista no gráfico a seguir Retorno Gráfico 3 Ativos financeiros com correlação perfeitamente negativa Legenda Os ativos de formas diferentes Fonte Elaborado pelo autor 2016 Agora você deve estar se perguntando o que ocorre com o risco e o retorno da carteira formada com esses dois ativos certo Então apresentaremos no gráfico que segue uma carteira de investimento que contém 50 de ativos 3 e 50 de ativos 4 Retorno 30 Ativo 3 20 10 10 30 50 70 90 110 Carteira Ativo 4 Tempo Gráfico 4 Retorno da carteira de investimento com ativos 3 e 4 Legenda Os ativos são perfeitamente e negativamente correlacionados Fonte Elaborado pelo autor 2016 30 20 10 mpo Te 0 11 9 5 0 3 1 10 ivo At ivo At Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 10 Fundamentos de mercado de capitais No gráfico anterior a linha preta representa nossa carteira formada pelos ativos 3 e 4 Como você pode perceber não há variações no retorno dessa carteira Isso ocorre justamente porque os ativos são perfeitamente e negativamente correlacionados gerando uma carteira com retorno porém sem risco algum Então podemos criar uma carteira sem risco e com retorno maior que zero A resposta para essa pergunta é sim mas apenas na teoria Essa carteira formada pelos ativos 3 e 4 é apenas uma carteira teórica No mundo real não conseguimos encontrar ativos perfeitamente correlacionados seja positiva ou negativamente Apesar disso podemos utilizar esses conhecimentos para reduzir os riscos de nossas carteiras ainda que eles não sejam anulados Para tanto precisamos montar carteiras com ativos que não sejam perfeita e positivamente correlacionados O que estamos fazendo quando montamos esse tipo de carteira é chamado de diversificação de investimentos Assaf Neto 2016 p 297 apresenta esse conceito da seguinte forma Por meio do conceito da diversificação é possível esperar que ati vos com risco possam ser combinados no contexto de uma carteira portfólio de forma que se apure um risco menor que aquele calculado para cada um de seus componentes Desde que os retornos dos ativos não sejam perfeita e positivamente correlacionados entre si há sempre uma redução do risco da carteira pela diversificação Como não conseguimos diversificar os investimentos a um nível em que o risco da carteira se torne zero podemos dividir o risco em dois tipos O primeiro deles é o risco diversificável que é aquele risco que pode ser mitigado por meio da combinação de diferentes ativos financeiros Esse risco está normalmente atrelado a características do ativo financeiro e à forma como é negociado O outro tipo é o risco sistemático Esse tipo de risco é não diversificável ou seja é um risco que estará sempre presente em sua carteira não importando quão diversificada ela seja Esse risco está associado a flutuações econômicas que atingem todos os ativos financeiros Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 11 Fundamentos de mercado de capitais Seguindo esse raciocínio quanto mais negativamente correlacionados melhor Mas como calculamos a correlação entre dois ativos Para isso é necessário entender primeiro a covariância uma vez que será utilizada no cálculo da correlação Glossário Covariância segundo Bodie Kane e Marcus 2015 a covariância é uma maneira inteligente de quantificar a covariação de duas variáveis Ou seja é uma forma de analisar se duas variáveis possuem semelhanças em seu padrão de variação A formulação matemática da covariância dos retornos dos ativos A e B é apresentada a seguir 𝑐𝑜𝑣𝑅𝐴 𝑅𝐵 1 𝑛 1 𝑅𝐴𝑖𝑅𝐵𝑖 1 𝑛 𝑛 𝑖1 𝑅𝐴𝑖 𝑛 𝑖1 𝑅𝐵𝑖 𝑛 𝑖1 Em que e são os retornos do ativo A e B no período i consecutivamente Agora que sabemos como é a covariância podemos partir para a correlação dos ativos Para isso utilizaremos a fórmula da correlação conforme apresentado a seguir Em que e são os desvios padrão dos retornos dos ativos A e B consecutivamente É importante saber que o índice de correlação varia de 1 até 1 sendo 1 a correlação perfeitamente negativa e 1 a correlação perfeitamente positiva Agora estamos prontos para calcular a correlação entre os ativos financeiros vamos lá Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 12 Fundamentos de mercado de capitais Analisaremos entre as três ações apresentadas na Tabela 4 quais formariam uma carteira melhor caso quiséssemos apenas duas ações em nossa carteira Tabela 4 Cotações e retorno das ações AAPL34 BRFS3 e PETR4 Legenda Opções de carteiras de investimentos Adaptada de httpeconomiauolcombrcotacoes Começaremos calculando a covariância das ações AAPL34 e BRFS3 Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 13 Fundamentos de mercado de capitais Agora podemos calcular a correlação entre os ativos AAPL34 e BRFS3 Como já aprendemos a calcular o desvio padrão na Trilha 2 apenas colocaremos os valores dos desvios padrão do retorno das ações deixando o cálculo para um momento que você ache mais adequado Conforme calculamos a correlação entre as ações AAPL34 e BRFS3 é de aproximadamente 062628 Considerando que você acabou de aprender a calcular a correlação que tal calcular as demais correlações A tabela a seguir apresenta os coeficientes de correlação para todas as ações Tabela 5 Correlação das ações AAPL34 BRFS3 e PETR4 Legenda Opções de carteiras de investimentos Fonte Elaborada pelo autor 2016 Agora precisamos selecionar a carteira que tem o maior potencial de reduzir nossos riscos Quais ativos você indicaria E qual você considera como a pior carteira em relação aos riscos 𝑐𝑜𝑣𝑅𝐴 𝑅𝐵 1 𝑛 1 𝑅𝐴𝑖𝑅𝐵𝑖 1 𝑛 𝑛 𝑖1 𝑅𝐴𝑖 𝑛 𝑖1 𝑅𝐵𝑖 𝑛 𝑖1 𝑐𝑜𝑣𝑅𝐴 𝑅𝐵 1 4 0032 00047 00296 00027 0012 007330011 00532 00012 00137 0032 00296 0012 00111 00012 00047 00027 00733 00532 00137 1 5 𝑐𝑜𝑣𝑅𝐴 𝑅𝐵 1 4 0000075897026 000169182990000403983217 𝐶𝑂𝑅𝑅𝐸𝐿𝑅𝐴𝑅𝐵 𝑐𝑜𝑣𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝐷𝑃𝑅𝐴𝐷𝑃𝑅𝐵 𝐶𝑂𝑅𝑅𝐸𝐿𝑅𝐴𝑅𝐵 0000403983217 000184350003499020626288 Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 14 Fundamentos de mercado de capitais Em primeiro lugar a melhor carteira parece ser aquela composta pelas ações APPL34 e BRFS3 Chegamos a essa conclusão pelo fato de essa carteira apresentar o menor nível de correlação entre os ativos ou seja ela tem o maior potencial de diversificação dos riscos Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 15 Fundamentos de mercado de capitais Seguindo esse raciocínio podemos eleger a carteira que tem o menor potencial de diversificação dos riscos Essa carteira seria composta pelos ati vos BRFS3 e PETR4 uma vez que o índice de correlação é o maior dos apresentados na Tabela 5 Além disso esse índice se mostrou elevado um pouco próximo de 1 ou seja boa correlação positiva Para conseguirmos visualizar melhor essa situação podemos fazer também uma análise gráfica dessa situação por meio do gráfico que segue Gráfico 5 Gráfico do retorno das ações AAPL34 BRFS3 e PETR4 Legenda Movimentação das ações de acordo com o índice de correlação Fonte Elaborado pelo autor 2016 Ao analisar esse gráfico podemos ter uma visão intuitiva dos cálculos de correlação que fizemos Fica fácil perceber que as ações APPL34 e PETR4 as quais possuem um índice de correlação de 065869 movimentamse de maneira mais semelhante enquanto as ações AAPL34 e BRFS3 possuem uma diferenciação bem maior se comparadas à dupla anterior O índice de correlação nos auxilia a verificar isso de uma maneira mais confiável que a análise gráfica Então como ficaria nossa carteira de ações composta por 50 de ações AAPL34 e 50 de ações BRFS3 Analise o gráfico para saber Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 16 Fundamentos de mercado de capitais Gráfico 6 Carteira AAPL34 e BRFS3 e ações Legenda Comparação entre as ações AAPL34 BRFS3 e PETR4 e a carteira formada por AAPL34 e BRFS3 Fonte Elaborado pelo autor 2016 Nesse gráfico podemos perceber que a linha da carteira que construímos apresenta uma variabilidade menor do que os ativos AAPL34BRFS3 isolados Isso acontece justamente porque conseguimos diversificar nosso investimento diminuindo assim nosso risco Dessa forma vemos que ao criar carteiras de investimento conseguimos diminuir o risco o qual pode ser medido pelo desvio padrão de nossos investimentos E para criarmos carteiras de investimento eficientes devemos buscar unir ativos que estão o mais negativamente correlacionados possível Para o cálculo do desvio padrão dos retornos de uma carteira com dois ativos as proporções pesos financeiras variância individuais e covariância entre os ativos devem ser consideradas Assim temos a fórmula aianciaAB B CovA proporçãoB wB proporçãoA wA onde wAwBCov DP wB wA DP D desvioB DPB desvioA DPA A B B A cov 2 P Carteira 2 2 2 2 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0000 1000 2000 090622 100622 110622 120622 130622 140622 150622 AAPL34 BRFS3 Carteira Trilha 3 Otimização de carteiras Universidade Presbiteriana Mackenzie 17 Fundamentos de mercado de capitais No exemplo da carteira com 50 em AAPL34 e 50 em BRFS3 teríamos como DP da carteira 𝐷𝑃𝐶𝑎𝑟𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 052 00184352 052 00349902 2 05 05 0000403983217 0013749 REFERÊNCIAS ASSAF NETO A Mercado financeiro 13 ed Rio de Janeiro Atlas 2016 BODIE Z KANE A MARCUS A J Investimentos 10 ed Porto Alegre AMGH 2015 ROSS S A WESTERFIELD R W JAFFLE J F Administração financeira versão brasileira de corporate finance 10 ed Porto Alegre AMGH 2015 eadmackenziebr