Exemplos de Cálculo em Coordenadas Cilíndricas

COORDENADAS CILÍNDRICAS Equipe de Cálculo Diferencial e Integral III Lincoln Cesar Zamboni Luciana Chaves Barbosa Magda Aparecida Salgueiro Duro Marcelo de Almeida Carvalhal EXEMPLOS Exemplo 1 COORDENDAS CILÍNDRICAS Um sólido Q e delimitado pelo cone 𝑧 𝑥2 𝑦2 e pelo plano 𝑧 2 A densidade em um ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 é diretamente proporcional ao quadrado da distância da origem a 𝑃 Ache sua massa Solução Representando o sólido Cone circular Cone circular limitado pelo Plano z 2 𝑥2 𝑦2 4 Interseção entre o cone circular e o plano Vista superior do sólido 3 2 2 2 xy z Densidade 𝛿 𝑘𝒅2 Coordenadas Cartesianas 𝛿 𝑘 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 2 Coordenadas Cilíndricas 𝛿 𝑘 𝒓𝟐 𝒛𝟐 2 𝑘 𝒓𝟐 𝒛𝟐 x y z Pxyz d O න 0 2𝜋 න 0 2 න 𝒓 2 𝐹 𝒓 𝜽 𝑧 𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑚 න 0 2𝜋 න 0 2 න 𝑟 2 𝑘 𝒓𝟐 𝒛𝟐 𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 2 න 𝑟 2 𝒓𝟑 𝒓𝒛𝟐 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 2 อ 𝒓𝟑𝒛 𝒓 𝒛𝟑 𝟑 𝑟 2 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 2 𝟐𝒓𝟑 𝟖 𝟑 𝒓 𝟒 𝟑 𝒓𝟒 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 อ 𝟐 𝒓𝟒 𝟒 𝟖 𝟑 𝒓𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝒓𝟓 𝟓 0 2 𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟐𝟖 𝟏𝟓 𝑑𝜃 𝟐𝟒 𝟓 𝑘2𝜋 Massa 48 5 𝑘𝜋 unidades de massa 𝟕𝟐 𝟏𝟓 𝑘 න 0 2𝜋 𝑑𝜃 𝟐𝟒 𝟓 𝑘 ቚ 𝜃 0 2𝜋 y x 2 massa densidadevolume m 𝑄 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑉 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧 𝒓 𝑐𝑜𝑠𝜽 2 𝒓 𝑠𝒆𝒏𝜽 2 𝑧 𝒓2 𝑐𝑜𝑠2𝜽 𝑠𝑒𝑛2𝜽 1 𝑧 r Coord Cilíndricas 4 Exemplo 2 COORDENDAS CILÍNDRICAS Um sólido tem a forma da região Q interior ao cilindro 𝑥2 𝑦2 𝑎2 e interior à esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4𝑎2 e acima do planoxy A densidade em um ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 é diretamente proporcional à distância do plano xy a 𝑃 Ache a massa e o momento de inércia 𝐼𝑧 do sólido Solução Representando o sólido cilindro circular de raio a 𝑥2 𝑦2 𝑎2 Interseção entre o cilindro e a esfera Vista superior do sólido cilindro circular limitado pela esfera esfera de raio 2a 5 2a a a xy z Densidade 𝛿 𝑘𝒅 Coordenadas Cartesianas 𝛿 𝑘𝒛 Coordenadas Cilíndricas 𝛿 𝑘𝒛 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 න 0 4𝑎2𝑟2 𝐹 𝑟 𝜃 𝑧 𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑚 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 න 0 4𝑎2𝑟2 𝑘𝒛𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 න 0 4𝑎2𝑟2 𝒛𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 อ 𝒓 𝒛𝟐 𝟐 0 4𝑎2𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 2 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 𝒓 4𝑎2 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 2 න 0 2𝜋 อ 4𝑎2 𝒓𝟐 𝟐 𝒓𝟒 𝟒 0 𝑎 𝑑𝜃 𝑘 2 න 0 2𝜋 2𝑎4 𝑎4 4 𝑑𝜃 7 4 𝑎4 𝑘𝜋 Massa 7 4 𝑎4𝑘𝜋 unidades de massa 7 8 𝑎4 𝑘 න 0 2𝜋 𝑑𝜃 7 8 𝑎4 𝑘 ቚ 𝜃 0 2𝜋 massa densidadevolume m 𝑄 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑉 y x a x y z Pxyz d O 6 𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 2 𝐼 𝑚𝑑2densidadevolume 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 2 I 𝑄 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑2𝑑𝑉 2a a a xy z Densidade 𝛿 𝑘𝒅 Coordenadas Cartesianas 𝛿 𝑘𝒛 Coordenadas Cilíndricas 𝛿 𝑘𝒛 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 න 0 4𝑎2𝑟2 𝐹 𝑟 𝜃 𝑧 𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝐼𝑧 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 න 0 4𝑎2𝑟2 𝑘𝒛 𝒓𝟐 𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 න 0 4𝑎2𝑟2 𝒛𝒓𝟑 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 อ 𝒓𝟑 𝒛𝟐 𝟐 0 4𝑎2𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 2 න 0 2𝜋 න 0 𝑎 𝒓𝟑 4𝑎2 𝑟2 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑘 2 න 0 2𝜋 อ 4𝑎2 𝒓𝟒 𝟒 𝒓𝟔 𝟔 0 𝑎 𝑑𝜃 𝑘 2 න 0 2𝜋 𝑎6 𝑎6 6 𝑑𝜃 5 6 𝑎6 𝑘𝜋 𝐼𝑧 5 6 𝑎6𝑘𝜋 unidades de momento de inércia 5 12 𝑎6 𝑘 න 0 2𝜋 𝑑𝜃 5 12 𝑎6 𝑘 ቚ 𝜃 0 2𝜋 y x a x y z Pxyz d O 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒕é 𝒐 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 7 x y z Pxyz dx²y² r O 12 BONS ESTUDOS