Superfícies Tridimensionais: Equações e Características

Espaço Tridimensional 3 Equação geral ou cartesiana do plano ax by cz d 0 a2 b2 c2 0 Planos paralelos aos eixos coordenados Planos paralelos aos planos coordenados FAZER O EXERCÍCIO 1 SUPERFÍCIES ESFÉRICAS Definição Chamase superfície esférica S de centro C e raio R ao conjunto de pontos P do espaço tais que a distância de P até C é igual a R Se as coordenadas de C forem 000 a equação reduzida canônica de S é x2 y2 z2 R2 Se as coordenadas de C forem abc a equação reduzida de S é xa2 yb2 zc2 R21 Desenvolvendo a equação 1 temse x2y2z22ax2by2cza2b2c2 R20 que é da forma x2 y2 z2 Ax By Cz D 02 Um problema que surge é que uma equação na forma 2 é sempre a equação de uma superfície esférica FAZER OS EXERCÍCIOS 2 3 e 4 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS ou simplesmente QUÁDRICAS Vamos apresentar uma breve descrição das principais superfícies quádricas 3 que podem ser consideradas como a versão tridimensional das cônicas Embora a forma geral de uma curva no espaço bidimensional possa ser obtida plotando os pontos este método não é geralmente útil para as superfícies no espaço tridimensional pois requer demasiados pontos Não faremos um estudo detalhado de tais superfíciesvamos a partir de suas equações reduzidas obter informações geométricas interessantes Chamase quádrica qualquer subconjunto S de 3 referido à base canônica que possa ser descrito por uma equação de segundo grau ax2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy iz j 0 onde abcde e f não são todos nulos De modo mais geral se S é uma superfície isto é o gráfico de uma equação em x y z então o traçode S em um plano é a interseção de S com o plano Para esboçar uma superfície utilizamos traços São de especial importância os traços nos planos coordenados o traçoxy o traçoyz e o traçoxz Às vezes é conveniente também determinar traços em planos paralelos aos planos coordenados ELIPSÓIDE Uma quádricaS é um elipsóide se existirem números reais positivos abc pelo menos dois deles distintos ao qual S pode ser descrita pela equação Se ab e c forem iguais entre si a equação seria uma superfície esférica de centro 000 e raio a Para gráficos precisos de superfícies quádricas se faz necessário o uso de um recurso gráfico computacional Entretanto discutiremos uma técnica para gerar esboços grosseiros dessas superfícies mas bastante úteis Na equação do elipsóide os traços nos planos coordenados são elipses como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados que interceptam a superfície em mais de um ponto Traço Equação do Traço Descrição do Traço Esboço do Traço Traçoxy z 0 Elipse Traçoyz x 0 Elipse Traçoxz y 0 Elipse HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA Uma quádricaS é um hiperbolóide de uma folha se existirem números reais positivos abc ao qual S pode ser descrita pela equação O traço no plano xy é uma elipse como são os traços nos planos paralelos ao plano xy Os traços nos planos yz e xz são hipérboles bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos cortes com os eixos x e y Nesses pontos os traços são pares de retas concorrentes HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS Uma quádricaS é um hiperbolóide de duas folhas se existirem números reais positivos abc ao qual S pode ser descrita pela equação Não há traço no plano xy Em planos paralelos ao plano xy que interceptam a superfície em mais do que um ponto os traços são elipses Os traços nos planos yz e xz bem como os planos paralelos a eles são hipérboles PARABOLÓIDE A ElípticoCircular Uma quádricaS é um parabolóide se existirem números reais positivos a e b ao qual pode S ser descrita pela equação z se a b têmse um parabolóide elíptico se a b têmse um parabolóide circular que sempre é uma superfície de revolução O traço no plano xy é um ponto a origem e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses Os traços nos planos yz e xz bem como em planos paralelos a eles são parábolas B Hiperbólico Uma quádricaS é um parabolóide hiperbólico se existirem números reais positivos a e b ao qual S pode ser descrita pela equação z O traço no plano xy é um par de retas que se cruzam na origem Os traços em planos paralelos ao plano xy são hipérboles As hipérboles acima do plano xy abremse na direção y e as abaixo na direção x Os traços nos planos yz e xz bem como em planos paralelos a eles são parábolas CONE Uma quádricaS é uma quádrica cônica se existirem números reais positivos a e b ao qual S pode ser descrita pela equação se a b têmse uma quádrica cônica elíptica se a b têmse um quádrica cônica circular que sempre é uma superfície de revolução O traço no plano xy é um ponto a origem e os traços em planos paralelos ao plano xy são elipses Os traços nos planos yz e xz são pares de retas que se interceptam na origem Os traços em planos paralelos a esses são hipérboles QUÁDRICA CILÍNDRICA Uma quádrica S é uma quádrica cilíndrica elíptica ouquádrica cilíndrica hiperbólica ou quádrica cilíndrica parabólica se existirem números reais positivos a b c ao qual S pode ser descrita respectivamente pelas equações EXERCÍCIOS 1Esboce em Oxyz os planos representados pelas equações a x 4 0b z 15 0 c y 2 d x 2y 2 0 d y 3z 6 0 e 2x z 3 0 f x 2y 12z 2 0 g x 2y 3z 6 0 2 Verifique se as equações dadas representam superfície esférica Em caso afirmativo indique o centro e o raio a x2 y2 z2 4x 2y 8z 13 0 b x2 2y2 z2 2y 8z 10 0 c x2 y2 z2 4x 2y 8z 30 0 d 4x2 4y2 4z2 8x 8y 10z 10 0 3 A circunferência é caracterizada pelas equações Dê as coordenadas do centro e o comprimento do raio dessa circunferência 4 Idem para S x2 y2 z2 4x 2y 2z 94 0 e 2x y 2z 21 0 5 Descreva as superfícies não é necessário fazer o esboço a x y12 z22 3 b 4x2 4y2 z2 8y 4z 4 c 3x2 4y2 12z 7 0 d 9x2 y2 4z2 18x 2y 16z 10 e z2 4x2 y2 8x 2y 4z 6 Identifique as superfíciese esboce a b x2 y2 c y2 x2 d x2 z2 e z 7 Identifique e esboce em Oxyz a z2 2y b x2 2y1 c d x2 y2 1 e x12 z f z y2 1 h x2 1 z BIBLIOGRAFIA BOULOS Paulo e OLIVEIRA Ivan C Geometria Analítica Um tratamento vetorial3 ed rev e ampl São Paulo Prentice Hall 2005 543p SWOKOWSKIEarl William Cálculo com Geometria Analítica Vol 2 2 ed São Paulo Makron Books 1994 756p HOWARD Anton Cálculo um novo horizonte Vol 2 6 edPorto Alegre Bookman 2000 552p Se xyz pertence ao 1º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos Se xyz pertence ao 2º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos Se xyz pertence ao 3º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos Se xyz pertence ao 4º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos Se xyz pertence ao 5º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos Se xyz pertence ao 6º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos Se xyz pertence ao 7º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos Se xyz pertence ao 8º octante então x0 y0 e z0 Em símbolos