Plano Tangente e Aproximação Linear: Exercícios e Gabarito

PLANO TANGENTE E APROXIMAÇÃO LINEAR EXERCÍCIOS E GABARITO Equipe de Cálculo 2 Adilson Morais Eneida P Emery de Carvalho Luciana Chaves Barbosa EXERCÍCIO 1 Determine por um ponto P0 dado as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função a 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥2 3𝑦2 𝑒 𝑃011 𝑧0 ൞ 𝑓𝑥 4𝑥 𝑓𝑥 11 4 𝑓𝑦 6𝑦 𝑓𝑦 11 6 𝑧0 2 3 1 Equações paramétricas da reta normal ቐ 𝑥 1 4𝜆 𝑦 1 6𝜆 𝑧 1 𝜆 𝜆 ℜ Equação do plano tangente 𝑧 𝑧0 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑧 1 4 𝑥 1 6 𝑦 1 𝑧 4𝑥 6𝑦 1 b 𝑓 𝑥 𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 𝑒 𝑃0 21 𝑧0 𝑓𝑥 1 1 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 2 1 2 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 2 𝑥2𝑦2 2𝑥3𝑦 2𝑥 𝑥2𝑦2 2 𝑓𝑥 21 022361 𝑓𝑦 1 1 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 2 1 2 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 3 𝑥2𝑦2 2𝑥3𝑦 2𝑦 𝑥2𝑦2 2 𝑓𝑦 21 063355 𝑧0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1 5 042053 Equações paramétricas da reta normal ቐ 𝑥 2 022361𝜆 𝑦 1 063355𝜆 𝑧 042053 𝜆 𝜆 ℜ Equação do plano tangente 𝑧 𝑧0 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑧 042053 022361 𝑥 2 063355 𝑦 1 𝑧 022361𝑥 063355𝑦 060686 c 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑒 𝑃011 𝑧0 𝑓𝑥 1 2 𝑥𝑦 𝑦 𝑓𝑥 11 05 𝑓𝑦 1 2 𝑥𝑦 𝑥 𝑓𝑦 11 05 𝑧0 1 Equações paramétricas da reta normal ቐ 𝑥 1 05𝜆 𝑦 1 05𝜆 𝑧 1 𝜆 𝜆 ℜ Equação do plano tangente 𝑧 𝑧0 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑧 1 05 𝑥 1 05 𝑦 1 𝑧 05𝑥 05𝑦 d𝑓 𝑥 𝑦 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑒 𝑃020 𝑧0 𝑓𝑦 𝑥2𝑒𝑥𝑦 𝑓𝑦 20 4 𝑓𝑥 1𝑒𝑥𝑦 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 𝑓𝑥 20 1 𝑧0 2 Equações paramétricas da reta normal ቐ 𝑥 2 1𝜆 𝑦 0 4𝜆 𝑧 2 𝜆 𝜆 ℜ Equação do plano tangente𝑧 𝑧0 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑧 2 1 𝑥 2 4 𝑦 𝑧 𝑥 4𝑦 EXERCÍCIO 2 Obtenha o valor aproximado da função 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 no ponto de abscissa x102 e ordenada y2001 utilizando o plano tangente em 12 Usar 5 casas decimais 𝑓𝑥 2𝑥𝑦 𝑓𝑥 12 4 𝑓𝑦 𝑥2 𝑓𝑦 12 1 𝑧0 𝑓 12 2 𝑓 𝑥 𝑦 𝐿 𝑥 𝑦 4𝑥 𝑦 4 𝑓 102 2001 𝐿 102 2001 4102 2001 4 𝑓 102 2001 2081 Equação do plano tangente𝑧 𝑧0 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑧 2 4 𝑥 1 1 𝑦 2 𝑧 4𝑥 𝑦 4 EXERCÍCIO 3 a Achar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 no ponto 𝑃0 21 𝑧0 sobre a superfície b Achar a equação da função de aproximação linear da função fxy no ponto P0 c Usando a função de aproximação linear calcular o valor aproximado de f202097 d Achar o módulo do Erro de aproximação Usar 5 casas decimais no exercício a Achar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 no ponto 𝑃0 21 𝑧0 sobre a superfície Equação do plano tangente 𝑧 𝑧0 𝑓𝑥𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥0 𝑓𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦0 𝑧 044721 026833 𝑥 2 076026 𝑦 1 𝑧 026833𝑥 076026𝑦 067081 𝑓𝑥 1 2 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 2 𝑥2𝑦2 2𝑥3𝑦 2𝑥 𝑥2𝑦2 2 𝑓𝑥 21 026833 𝑓𝑦 1 2 2𝑥3𝑦 𝑥2𝑦2 3 𝑥2𝑦2 2𝑥3𝑦 2𝑦 𝑥2𝑦2 2 𝑓𝑦 21 076026 𝑧0 𝑓 21 1 5 044721 Equações paramétricas da reta normal ቐ 𝑥 2 026833𝜆 𝑦 1 076026𝜆 𝑧 044721 𝜆 𝜆 ℜ EXERCÍCIO 3 b Achar a equação da função de aproximação linear da função fxy no ponto P0 𝑓 𝑥 𝑦 𝐿 𝑥 𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 026833𝑥 076026𝑦 067081 c Usando a função de aproximação linear calcular o valor aproximado de f202097 𝑓 202 097 026833202 076026097 067081 𝑓 202 097 047538 EXERCÍCIO 3 d Achar o módulo do Erro de aproximação 𝐸 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑓 202 097 22023097 20220972 047439 valor real 𝑓 202 097 047538 valor aproximado 𝐸 047439 047538 𝐸 000099