Convergência Absoluta e Condicional-2023-2

Convergência Absoluta e Condicional. valor absoluto valor absoluto Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja \( \sum a_n \) uma série de números reais não-nulos. Considere o limite \[ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho. \] (i) Se \( \rho < 1, \) então a série \( \sum a_n \) converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se \( \rho > 1 \) ou \( \rho = +\infty, \) então a série \( \sum a_n \) diverge. (iii) Se \( \rho = 1, \) então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Exercício 7.9.12 Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (i) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \) \[ \frac{2}{3} \]\[ \frac{-3}{4} \]\[ \frac{5}{-2} \] \( 4! = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \) \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5 \cdot 4! \) Seja \( a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n!} , \ n\geq 1. \) Note que \( a_n \neq 0 \) para todo \( n\geq 1. \) Temos \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)!} \right| \bigg/ \left| \frac{(-1)^n}{n!} \right| = \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{1} = \frac{1}{n+1} \xrightarrow{n \to \infty} 0 \] Como \( \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 < 1, \) temos que \( \sum a_n \) converge absolutamente e, portanto, converge. Definição 8.1.1 Seja \( f(x) \) uma função diferenciável \( n \) vezes em \( x = 0. \) O \( n \)-ésimo polinômio de MacLaurin para \( f \) é definido como \[ p_n(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!} x^{n-1} + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n, \] isto é, \[ p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k. \] Exemplo 8.1.2 Determine o \( n \)-ésimo polinômio de MacLaurin da função \( f(x) = e^x \). Temos \[ f(x) = e^x \Rightarrow f(0) = 1 \] \[ f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = 1 \] \[ f''(x) = e^x \Rightarrow f''(0) = 1 \] \[ f'''(x) = e^x \Rightarrow f'''(0) = 1 \] \[ \hspace{5cm} \Rightarrow f^{(k)}(0) = 1, \ \forall k \geq 0. \] Logo \( p_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} x^k = 1 + \frac{1}{1} x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n. \[ \text{para } n=4: \ p_{4}(x) = 1 + \frac{1}{1} x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 \] \text{.} Exercício 8.1.3 Use o Exemplo 8.1.2 para determinar, utilizando uma calculadora, os valores de \( f(x), p_{3}(x) \text{ e } p_{9}(x) \) para \( x = {\bm 0.3}, 1 \) O valor de \( f(1) = e^1 = 2.7182818 \text{ pode ser aproximado por} \ \( p_{1}(1) = 1 + X \Big|_{x=1} = 2 \) \(p_{3}(1) = 1 + \frac{1}{1} x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 \Big|_{x=1} = 2.66666\ldots \) \( p_{9}(1) = \sum_{k=0}^9 \frac{1}{k!} = 2.7182818 \) Exemplo 8.1.10 Determine \( n \)-ésimo polinômio de Taylor de \( f(x) = \ln x \) em torno de \( x = 1. \) Temos \[ p_{n}(x) = f(1) + \frac{f'(1)}{1!} (x-1) + \frac{f''(1)}{2!} (x-1)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(1)}{n!} (x-1)^n, \] isto é, \[ p_{n}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(1)}{k!} (x-1)^k. \] Temos \( p_{n}(x) = f(1) + \frac{f'(1)}{1!}(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n, \) onde \[ f(x) = \ln x \] \[ f(1) = ? \] \[ f'(x) = ? \] \[ f'(1) = ? \] \[ f''(x) = ? \] \[ f''(1) = ? \] \[ f'''(x) = ? \] \[ f'''(1) = ? \] \[ \ldots \] Logo \( f^{(k)}(1) = \ldots ?, \ \text{para } k \geq 0. \) Boa aproximação em torno de x=0 Polinômio de MacLaurin. Boa aproximação em torno de x=3 Polinômio de Taylor em x=3. Polinômios de Taylor. Cálculos similares mostram que devemos ter Exercício 8.1.11 Determine n-ésimo polinômio de Taylor de f(x) = \frac{1}{x} em torno de x = 1.