Relatório 3-2023-2

Relat´orio 3 (R3) Disciplina: C´alculo Diferencial e Integral III Turma: EC3A e ET3A Data: 07 de novembro de 2023 Orienta¸c˜oes para a Avalia¸c˜ao Leia atentamente as seguintes intru¸c˜oes. 1. Esta atividade pode ser feita com consulta `as notas de aula disponibilizadas no Moodle e aos livros que constam na bibliografia do curso, tamb´em disponibilizada no Moodle. 2. Fornec¸a na resposta de cada item a justificativa e o argumento para suas escolhas e c´alculos. Se consultar algum teorema ou resultado de alguma referˆencia, ou se usar alguma ferramenta computacional (item abaixo), deixe expl´ıcito na sua resolu¸c˜ao. 3. Podem tamb´em ser utilizadas ferramentas computacionais para: (a) c´alculos b´asicos de opera¸c˜oes b´asicas como soma, diferen¸ca, produto e divis˜ao; (b) c´alculo de opera¸c˜oes b´asicas como potˆencias, ra´ızes, logaritmos, exponencias e fun¸c˜oes trigonom´etricas; (c) esboc¸os de gr´aficos; (d) c´alculos de derivadas e integrais (definidas e indefinidas) de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real. Lembre-se que a honestidade surge de um di´alogo seu com vocˆe mesmo. Os modelos e fun¸c˜oes matem´aticas utilizados como contextualiza¸c˜ao da avalia¸c˜ao n˜ao constituem necessariamente uma representa¸c˜ao fiel da realidade ou da tecnologia atual. Σ Σ Σ Σ Σ Σ Oscila¸c˜ao de peso de um ciclista em suas viagens. Um ciclista realiza um mesmo percurso diariamente e decidiu realizar um acompanhamento nutricional, que se inicia no dia 02 de janeiro de 2024. Suponha que a massa do ciclista nesta data ´e de 75kg. Com trˆes acompanhamentos nutricionais diferentes X, Y e Z, conjectura-se que a ap´os a sua n-´esima viagem, para n ≥ 1, seu peso ter´a uma oscilac¸˜ao em gramas dada por Xn = 9,4 * 1,3 -n * n 3 no caso do acompanhamento x Yn = (1300 n 3 + 1300 n) / (0,3 n2 + 400 n) no caso do acompanhamento y zn = ( (-1) n * 700 ) / ( n 0,8 ) no caso do acompanhamento z Nas sequˆencias acima, valores positivos indicam um ganho de peso, enquanto valores negativos indicam perda de peso. O valor n = 1 corresponde `a primeira viagem, realizada no dia 02 de janeiro de 2024. Cada grupo possui fun¸c˜oes e constantes diferentes para o problema. Acesse no Moodle da disciplina o documento contendo as informa¸c˜oes do enunciado do seu grupo. Redija um relat´orio de an´alise do problema contendo os seguintes pontos. • O c´alculo dos primeiros termos de cada uma das sequˆencias e a interpretac¸˜ao do que os valores obtidos significam no contexto do problema. • Um estudo da convergˆencia das sequˆencias {xn}, {yn} e {zn}, determinando se s˜ao conver- gentes ou divergentes e calculando o limite das sequˆencias convergentes. • Uma interpreta¸c˜ao no contexto do problema para o estudo de convergˆencia das sequˆencias. • O c´alculo dos primeiros termos da sequˆencia de somas parciais das s´eries infinitas ∞ xn, n=1 ∞ yn e n=1 ∞ zn, n=1 e a interpreta¸c˜ao do que os valores obtidos significam no contexto do problema. • Um estudo da convergˆencia das s´eries infinitas xn, yn e zn, determinando se s˜ao convergentes ou divergentes e calculando o valor da soma das s´eries convergentes quando poss´ıvel. • Uma interpreta¸c˜ao no contexto do problema para o estudo de convergˆencia das s´eries infinitas. Obs. Seu relat´orio deve ter a forma de um texto coeso ou artigo, e n˜ao uma lista de itens ou quest˜oes. Obs. Note que nem sempre ´e poss´ıvel determinar o valor da soma de uma s´erie infinita utilizando os resultados vistos em sala de aula. 1 Introdu¸c˜ao O acompanhamento nutricional desempenha um papel fundamental nas ativi- dades f´ısicas, sendo uma pe¸ca-chave para otimizar o desempenho e promover uma sa´ude integral. A alimenta¸c˜ao adequada antes, durante e ap´os o exerc´ıcio ´e crucial para fornecer a energia necess´aria, melhorar a recupera¸c˜ao muscu- lar e prevenir les˜oes. Um nutricionista especializado pode personalizar planos alimentares, levando em considera¸c˜ao as necessidades espec´ıficas de cada in- div´ıduo, seu tipo de atividade f´ısica, objetivos e condi¸c˜oes de sa´ude. Al´em disso, o acompanhamento nutricional contribui para o controle do peso, a reg- ula¸c˜ao do metabolismo e o fortalecimento do sistema imunol´ogico. Dessa forma, a sinergia entre a nutri¸c˜ao e a pr´atica regular de exerc´ıcios n˜ao apenas poten- cializa os resultados est´eticos, mas tamb´em promove uma base s´olida para a promo¸c˜ao da sa´ude e do bem-estar a longo prazo. O ciclismo ´e uma atividade que demanda consider´avel esfor¸co f´ısico, en- volvendo diversos grupos musculares e sistemas fisiol´ogicos. Enquanto pedala, o ciclista utiliza intensamente os m´usculos das pernas, incluindo panturrilhas e gl´uteos, proporcionando for¸ca para impulsionar a bicicleta. Al´em disso, a regi˜ao lombar e os m´usculos estabilizadores do tronco s˜ao constantemente exigidos para manter uma postura adequada e garantir estabilidade durante o percurso. O esfor¸co cardiovascular tamb´em ´e significativo, uma vez que o ciclista precisa manter uma frequˆencia card´ıaca elevada para sustentar o ritmo da pedalada. A resistˆencia f´ısica ´e fundamental, especialmente em atividades de longa dura¸c˜ao, como corridas ou passeios extensos. Diante deste cen´ario, iremos estudar o caso de um ciclista que decidiu realizar um acompanhamento nutricional `a se iniciar no dia 02 de janeiro de 2024. Sua massa ´e de 75kg e modela-se utilizando trˆes sequˆencias X, Y e Z para representar os acompanhamentos nutricionais que ditar˜ao a quantidade de peso, em gramas, perdido ap´os sua n-´esima viagem. Neste trabalho iremos verificar a convergˆencia destas sequˆencias e analisar suas respectivas s´eries para decidir qual acompanhamento nutricional que vale mais a pena o ciclista seguir. 2 Metodologia 2.1 Sequˆencias X, Y e Z O acompanhamento nutricional ´e dado pelas sequˆencias: Xn = 9, 4 · 1, 3−n · n3 Yn = (1300n3 + 1300n)/(0, 3n2 + 400n) Zn = ((−1)n · 700)/(n0,8) A vari´avel n representa a quantidade de vezes em que o ciclista fez aquele trajeto. Desta maneira, n = 10 significa que ´e a d´ecima vez que o ciclista est´a realizando aquele trajeto. 1 2.2 Convergéncia das Sequéncias Conseguimos verificar a convergéncia das sequéncias quando o limite lim a,=L ; noo existe. No caso de nao existir, a sequéncia é divergente. 2.3. Convergéncia das Séries 2.3.1 Teste da Razao O teste da razao é uma ferramenta crucial na andlise de convergéncia de séries infinitas. Este teste é frequentemente utilizado para determinar se uma série converge ou diverge, sendo particularmente util em séries com termos gerais positivos. A ideia central por tras do teste é avaliar o limite da razdo entre termos consecutivos da série. Considere uma série infinita )>7°_, an, onde a», representa os termos da série. Para aplicar o teste da razao, calcule a seguinte expressao: . An+1 L= lim | n—-0o An O valor de L é crucial para determinar a convergéncia da série: 1. Se L < 1, a série converge absolutamente. 2. Se L > 1, a série diverge. 3. Se L = 1, o teste é inconclusivo, e o teste da razao nao fornece informacoes definitivas. Nesse caso, outros métodos, como o teste da raiz, podem ser con- siderados. Em termos mais simples, se o limite da razao entre termos consecutivos é menor que 1, espera-se que a série convirja. Se for maior que 1, a série diverge. Este teste é particularmente util para séries cujos termos apresentam uma estrutura exponencial. 2.3.2 Teste do Limite O teste do limite é uma técnica valiosa na andlise da convergéncia de séries infinitas, proporcionando uma abordagem flexivel e geral para avaliar 0 com- portamento dos termos de uma série. Esse teste é particularmente util quando a série em questao nao possui uma estrutura que facilite a aplicacao de métodos mais especificos, como o teste da razao. Considere uma série infinita )>°°_, a, com termos a,,. Para aplicar o teste do limite, considere o limite do termo geral a, & medida que n se aproxima do infinito: lim ay noo 1. Se o limite acima é igual a zero, isso nao fornece informagoes conclusivas sobre a convergéncia da série usando apenas o teste do limite. Outros métodos podem ser necessarios para avaliar a convergéncia nesse caso. 2 2. Se o limite ´e diferente de zero, a s´erie diverge automaticamente, pois os termos n˜ao convergem para zero. Nesse cen´ario, n˜ao ´e necess´ario prosseguir com a an´alise da convergˆencia usando o teste do limite. 3. Caso o limite n˜ao exista, seja infinito ou indefinido, o teste do limite n˜ao oferece informa¸c˜oes conclusivas sobre a convergˆencia da s´erie. 3 Resultados 3.1 An´alise da Convergˆencia das Sequˆencias Vamos obter uma estimativa do comportamento das sequˆencias calculando os cinco primeiros termos de cada uma: X1 = 9, 4 · 1, 3−1 · 13 = 7, 23 X2 = 9, 4 · 1, 3−2 · 23 = 44, 50 X3 = 9, 4 · 1, 3−3 · 33 = 115, 52 X4 = 9, 4 · 1, 3−4 · 43 = 210, 63 X5 = 9, 4 · 1, 3−5 · 53 = 315, 46 Para a sequˆencia Xn, os termos v˜ao aumentando conforme n aumenta. Y1 = (1300(1)3 + 1300(1))/(0, 3(1)2 + 400(1)) = 6, 49 Y2 = (1300(2)3 + 1300(2))/(0, 3(2)2 + 400(2)) = 16, 23 Y3 = (1300(3)3 + 1300(3))/(0, 3(3)2 + 400(3)) = 32, 43 Y4 = (1300(4)3 + 1300(4))/(0, 3(4)2 + 400(4)) = 55, 08 Y5 = (1300(5)3 + 1300(5))/(0, 3(5)2 + 400(5)) = 84, 18 Na sequˆencia Yn os termos tamb´em crescem, por´em em um ritmo mais lento do que na sequˆencia Xn. Z1 = ((−1)1 · 700)/(10,8) = −700 Z2 = ((−1)2 · 700)/(20,8) = 402, 04 Z3 = ((−1)3 · 700)/(30,8) = −290, 67 Z4 = ((−1)4 · 700)/(40,8) = 230, 91 Z5 = ((−1)5 · 700)/(50,8) = −193, 16 Na ´ultima sequˆencia os termos variam de valores positivos e negativos e diminuem cada vez que n aumenta. No contexto do nosso problema, valores positivos indicam um aumento de peso, enquanto valores negativos uma perda de peso, portanto nas duas primeiras sequˆencias h´a o aumento de peso, enquanto na ´ultima existe a perda, por´em ela alterna entre perda e ganho. 3 A convergˆencia das sequˆencias ir´a nos revelar maiores informa¸c˜oes. Vamos come¸car por Xn: lim n→∞ 9, 4 · 1, 3−n · n3 = 9, 4 · lim n→∞ n3 1, 3n Utilizando L’Hospital: 9, 4 · lim n→∞ 3n2 0, 26 · 1, 3n Novamente mais duas vezes: 9, 4 · lim n→∞ 6 0, 02 · 1, 3n Aplicando o limite vamos ter que: 9, 4 · lim n→∞ 6 0, 02 · 1, 3n → 6 0, 02 · 1, 3∞ = 0 Portanto a sequˆencia ´e convergente. Para a segunda sequˆencia temos: lim n→∞(1300n3 + 1300n)/(0, 3n2 + 400n) Dividindo tudo por n3: lim n→∞ (1300 + 1300/n2) (0, 3/n + 400/n2) Aplicando o limite: lim n→∞ (1300 + 1300/n2) (0, 3/n + 400/n2) → (1300 + 1300/(∞)2) (0, 3/(∞) + 400/(∞)2) → (1300 + 1300/(∞)2) 0 → ∞ Portanto a sequˆencia ´e divergente. Agora vamos analisar a ´ultima: lim n→∞((−1)n · 700)/(n0,8) Por ser uma sequˆencia alternada, a sequˆencia ´e divergente necessariamente. No contexto do nosso problema, as sequˆencias convergentes ir˜ao estabilizar-se e a partir de um determinado n n˜ao ir´a mais gerar resultados, enquanto as divergentes ir˜ao gerar resultados no peso do ciclista indefinidamnete. 4 3.2 Andalise da Convergéncia das Séries Colocando em termos de séries, vamos obter $5 9,4-1,3-7 n3 n=1 S °(1300n' + 1300n)/(0, 3n? + 400n) n=1 do)" - 700)/(n°*) n=1 Calcularemos os primeiros 5 termos com o auxilio de um programa escrito exclusivamente para esta tarefa em Python: 4 S85 9,4-1,3-" -n3 = 7,23 + 44,49 + 115, 52 + 210,63 = 377, 88 n=1 4 S © (1300n? + 1300n)/(0,3n? + 400n) = 6, 49 + 16, 22 + 32, 42 + 55,08 = 110, 23 n=1 4 S((=1)” + 700)/(n°’) = —700 + 402, 04 — 290, 67 + 230,91 = —357, 71 n=1 Mais rigorosamente, vamos analisar a convergéncia das séries infinitas: Vamos aplicar o Teste da Razao na primeira soma. Gnai, ,9,4-1,3°"H(n +133 1,3-(n+1)8 n+1]° I | = |g | = I | = 38-1 | I An 9,4-1,3-"n n n Aplicando o limite: lim 1,3-| [n/n + 1/n]° | = lim 1,3-[1 + 1/n]° + 1,3-[1+1/oo]® = 1,3-1° = 1,3 Portanto a série é convergente pois LD > 1. A segunda série diverge pelo Teste do Limite. Os demais testes séo incon- clusivos. Na terceira vamos aplicar o teste da razao: | / | _ (—1)"*1700 n0-8 _ 70-8 in /En1 E108 700(-H” (n+ 1/98 5 Portanto: lim n→∞ −[ n (n + 1)]0.8 = lim n→∞ −[ 1 (1 + 1/n)]0.8 → −1 1 = −1 Como L < 1, a s´erie ´e divergente. Neste trabalho, obtemos duas s´eries divergentes e uma s´erie convergente. A s´erie convergente n˜ao ´e boa para o ciclista pois existe somente aumento de peso e a s´erie ´e estabilizada depois de um certo tempo, tornando-a ineficaz. A segunda s´erie aumenta o peso indefinidamente, n˜ao sendo tamb´em uma boa escolha para o objetivo de perder o peso. A s´erie de Zn ´e a melhor, pois devido as somas parciais, o ciclista perde mais peso do que ganha, tendo um balan¸co negativo a longo prazo e nunca entrando na monotonia. 4 Conclus˜ao Ap´os a an´alise dos acompanhamentos nutricionais utilizando ferramentas do estudo das sequˆencias e s´eries, Zn ´e o melhor candidato como acompanhamento nutricional no caso do ciclista que quer realizar n viagens e perder peso. De acordo com as somas parciais, em apenas 4 viagens ele perder´a aproximadamente 357, 71g utilizando este m´etodo, sendo ent˜ao classificado como o mais indicado. 6