Séries de Números Reais-2023-2

Exemplo 7.4.9 Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso sej convergente, calcule seu limite. (i) Sum n=0^infinito 5/4^n (ii) Sum n=1^infinito 3^2n5^1-n Teorema 7.4.4 A série geométrica Sum n=0^infinito ar^n = a + ar + ar^2 + ... é convergente se |r| < 1 e divergente se |r| >= 1. Mais ainda, se |r| < 1, Sum n=0^infinito ar^n = a/(1-r) Temos a1 = 3^1 . 5^1 = 3 a2 = 3^2 . 5^1 = 81/5 Temos 3.2^n . 5.1-n = (3^2)^n . 5.1/5^n = 5 . 9/5^n (5/9)^n, logo Sum n=1^infinito 3^2n . 5.1-n = Sum n=1^infinito a^n com a=5 e r=9/5. para n>=1. Como r=9/5 satisfaz |r| >= 1, segue do teorema que a série Sum n=0^infinito 5(9/5)^n diverge. Como Sum n=0^infinito 5(9/5)^n = 5 . (9/5)^0 + Sum n=1^infinito 5(9/5)^n e Sum n=0^infinito 5(9/5)^0 diverge, segue que Sum n=1^infinito 5(9/5)^n também diverge. Teorema 7.5.7 Seja Sum n=1^infinito a_n uma série de números reais e n0>=1 um inteiro qualquer. Então Sum n=1^infinito a_n converge se e somente se Sum n=n0^infinito a_n converge. Vejamos agora como podemos calcular o valor S = lim n->infinito s_n. Temos s_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n, Multiplicando a equação por 1/2 obtemos 1/2 s_n = 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2^(n+1) { Consideramos agora o sistema s_n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n 1/2 s_n = 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2^(n+1) Subtraindo as equações obtemos s_n - 1/2 s_n = 1/2 - 1/2^(n+1) Multiplicando a equação por 2 obtemos 2s_n - s_n = 1 - 2/2^(n+1) <=> s_n = 1 - 1/2^n Segue que Sum n=0^infinito 1/2^n = lim n->infinito s_n = lim n->infinito (1 - 1/2^n) = 1 - 0 = 1. Definição 7.4.3 Seja Sum n=1^infinito a_n a série definida pela sequência {a_n} n=1^infinito. Considere, para n>=1, a n-ésima soma parcial s_n definida abaixo: s_n = a1 + a2 + ... + an. A sequência {s_n} n=1^infinito é dita a sequência de somas parciais da série Sum n=1^infinito a_n. Se a sequência {s_n} n=1^infinito converge para um número S e R dizemos que a série Sum n=1^infinito a_n é convergente e escrevemos Sum n=1^infinito a_n = S. Dizemos neste caso que S é o limite ou a soma da série Sum n=1^infinito a_n. Se a sequência de somas parciais {s_n} n=1^infinito diverge dizemos que a série Sum n=1^infinito a_n diverge. Teorema 7.4.4 A série geométrica Sum n=0^infinito ar^n = a + ar + ar^2 + ... é convergente se |r| < 1 e divergente se |r| >= 1. Mais ainda, se |r| < 1, Sum n=0^infinito ar^n = a/(1-r) Exercício 7.4.5 Prove o Teorema 7.4.4. O aumento da temperatura da água é descrito por a_0 = 95, a_1 = 95.1/3, a_2 = 95.1/3^2 isto é, a_n = 95/3^n-1 para n>=0. Segue que Sum n=0^infinito a_n = 95. (1/3)^n = Sum n=0^infinito a_n para a=95 e r=1/3, logo a série converge e tem limite Sum n=0^infinito 95(1/3)^n = a/(1-r) = 95/(1-1/3) = 95.3/2 = 95.3/2 = 95.3/2 Matemática baseada em problemas! Aquecimento da Temperatura de um Lago. A população de uma cidade do interior de São Paulo está preocupada com o impacto ambiental das indústrias da região. Descobre-se que a atividade de uma certa empresa está aquecendo lentamente a água de um importante lago da região, que vem registrando temperatura média de 15°C no ano de 2021. Um grupo de cientistas foi contratado para assessorar a secretaria de meio ambiente do município e desenvolver um modelo teórico para a evolução da temperatura da água. Nesse modelo o aumento de temperatura da água entre 2022 (de 15°C a partir de 2023 o aumento é igual a um terço do aumento no ano anterior. Qual será o aumento total de temperatura depois de muitos meses dentro do padrão desse modelo?) Séries Telescópicas. Exemplo 7.4.11 Considere a série ∑ (n=1 a ∞) 1/ n(n+1) = 1/ 1·2 + 1/ 2·3 + 1/ 3·4 + ... Para determinar a convergência da série escrevemos o termo geral como 1/n(n+1) = A/n + B/(n+1), onde A, B são constantes a determinar. Por exemplo A=2 e B=3: 2/n + 3/(n+1) = (2(n+1) + 3n)/ n(n+1) = (2n+2 + 3n)/ n(n+1) = 5n+2 / n(n+1) Temos 1/n(n+1) = A/n + B/(n+1) = A(n+1) + Bn/ n(n+1) = An+A+Bn/ n(n+1) = (A+B)n+A/n(n+1) logo para termos 1/n(n+1) = (A+B)n+A/n(n+1) devemos ter 1/n(n+1) = (A+B)n+A/n(n+1) ⟺ 0n+1 = (A+B)n+A ⟺ {0 = A+B, 1 = A. Logo A = 1, B = -1 e portanto 1/n(n+1) = A/n + B/(n+1) ⟹ 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1) e ∑ (n=1 a ∞) 1/n(n+1) = ∑ (n=1 a ∞) (1/n - 1/(n+1)). Seja S_N a sequência definida pela soma dos n primeiros termos da série, para N ≥ 1 : S_N = ∑ (n=1 a N) (1/n - 1/(n+1)) S_N = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/N - 1/(N+1)) S_N = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/N - 1/(N+1)) S_N = 1/1 - 1/(N+1) para N ≥ 1. Então ∑ (n=1 a ∞) 1/n(n+1) = ∑ (n=1 a ∞) (1/n - 1/(n+1)) = lim (N→∞) S_N = lim (N→∞) (1 - 1/(N+1)) = 1, e, portanto, a série ∑ (n=1 a ∞) 1/n(n+1) converge e tem limite 1. Teste do Termo Geral. Teorema 7.5.1 Se a série infinita ∑ a_n é convergente, então lim (n→∞) a_n = 0. Corolário 7.5.2 Se ∑ a_n é uma série tal que lim (n→∞) a_n ≠ 0, então ∑ a_n é divergente. Teste do Termo Geral Exemplo 7.5.4 Mostre que a série ∑ (n=1 a ∞) n^2 + 2n/n^2 + 1 é divergente. Seja a_n = n^2 + 2n/n^2 + 1, n ≥ 1. Temos lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) n^2 + 2n/n^2 + 1 = lim (n→∞) n^2/n^2 + 2n/n^2 = lim (n→∞) 1 + 2/n/1 + 1/n^2, logo lim (n→∞) a_n = 1 ≠ 0 e, portanto, ∑ (n=1 a ∞) a_n diverge. Importante! Se lim (n→∞) a_n = 0, nada podemos afirmar sobre a convergência da série ∑ a_n. lim (n→∞) a_n = 0? sim não Teorema 7.5.5 Sejam \sum_{n=1}^{\infty} a_n e \sum_{n=1}^{\infty} b_n séries convergentes com limites L_1 e L_2, respectivamente. Então: (i) a série \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) é convergente e \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = L_1 + L_2; (ii) a série \sum_{n=1}^{\infty} (a_n - b_n) é convergente e \sum_{n=1}^{\infty} (a_n - b_n) = L_1 - L_2; (iii) para qualquer número c \in \mathbb{R} a série \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n é convergente e \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n = c \cdot L_1. Teorema 7.4.4 A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = a + ar + ar^2 + \cdots é convergente se |r| < 1 e divergente se |r| \geq 1. Mais ainda, se |r| < 1, \sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}. Teste da Integral Considera a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots Teorema 7.6.1 — Teste da Integral. Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_n uma série de números reais positivos tal que a_n = f(n) para n \geq 1. Suponha que existe a \geq 1 tal que f(x) é contínua e monótona decrescente para x \in [a, +\infty). Então: (i) se \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx é convergente então \sum_{n=1}^{\infty} a_n é convergente; (ii) se \int_{a}^{\infty} f(x)\, dx é divergente então \sum_{n=1}^{\infty} a_n é divergente.