Polinômios de Taylor e Teorema do Erro-2023-2

Polinômios de Taylor. Cálculos similares mostram que devemos ter Boa aproximação em torno de x=0 Polinômio de MacLaurin. Boa aproximação em torno de x=3 Polinômio de Taylor em x=3. Exemplo 8.1.10 Determine n-ésimo polinômio de Taylor de f(x) = ln x em torno de x = 1. Temos p_n(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n, isto é, p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k. Temos p_n(x) = f(1) + \frac{f'(1)}{1!} (x-1) + \frac{f''(1)}{2!} (x-1)^2 + … + \frac{f^{(n)}(1)}{n!} (x-1)^n, onde f(x) = ln x, f(1) = 0, f'(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}, f'(1) = 1, f''(x) = -1 \cdot x^{-2}, f''(1) = -1, f'''(x) = +1 \cdot 2 \cdot x^{-3}, f'''(1) = 1 \cdot 2, f^{(4)}(x) = -1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x^{-4}, f^{(4)}(1) = -1 \cdot 2 \cdot 3. ^f^{(k)}(1) = (-1)^{k+1}(k-1)!, for k ≥ 1. Segue que p_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(1)}{k!} (x-1)^k = 0 + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(1)}{k!} (x-1)^k = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{k!} (x-1)^k = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} (x-1)^k = (x-1)^1 - \frac{1}{2} (x-1)^2 + \frac{1}{3} (x-1)^3 + + … + \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n. Exercício 8.1.11 Determine n-ésimo polinômio de Taylor de f(x) = \frac{1}{x} em torno de x = 1. Teorema do erro. A apresentação dos polinômios de MacLaurin e Taylor foi baseada na aproximação em torno de um certo ponto de uma função f(x) por um polinômio p(x). Cabe então discutir qual o erro cometido pela aproximação f(x) ≈ p(x), isto é, se o erro R(x) = f(x) - p(x) é grande ou pequeno. No caso do n-ésimo polinômio de Taylor temos R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k. => R_n(x) = (f(x) - p_n(x)) (8.8) A função R_n(x) acima é dita o resto ou erro do n-ésimo polinômio de Taylor. O teorema a seguir fornece um limite superior para o erro da aproximação f(x) ≈ p_n(x). Teorema 8.1.12 Seja f(x) uma função diferenciável n+1 vezes em um intervalo I contendo x = x_0 e suponha que |f^{(n+1)}(x)| <= M para todo x ∈ I. Então, para todo x ∈ I, |R_n(x)| <= \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}. Exercício 8.1.14 Use o Teorema 8.1.12 para estimar o erro cometido pela aproximação de f(x) = cos x pelo seu segundo polinômio de MacLaurin no intervalo [0,1]. Consideramos o erro em valor absoluto: |R_n(x)| = |(f(x) - p_n(x))|. Teorema 8.1.12 Seja f(x) uma função diferenciável n+1 vezes em um intervalo I contendo x = x_0 e suponha que |f^{(n+1)}(x)| <= M para todo x ∈ I. Então, para todo x ∈ I, |R_n(x)| <= \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}. Exercício 8.1.14 Use o Teorema 8.1.12 para estimar o erro cometido pela aproximação de f(x) = cos x pelo seu segundo polinômio de MacLaurin no intervalo [0,1]. Temos p_2(x) = \sum_{k=0}^2 \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!} x^1 + \frac{f''(0)}{2!} x^2 Onde f(x) = cos x => f(0) = 1, f'(x) = -sen x => f'(0) = 0, f''(x) = -cos x => f''(0) = -1. Logo p_2(x) = 1 + 0 x - \frac{x^2}{2} = 1 - \frac{x^2}{2}. A função f(x) = cos x é 2 + 1 = 3 vezes diferenciável em \mathbb{R}, então devemos escolher um número real M tal que |f^{(n+1)}(x)| <= M => |f^{(3)}(x)| <= M para todo x ∈ [0,1] => |sen x| <= M para todo x ∈ [0,1]. De acordo: f'(x) = -sen x, f''(x) = -cos x, f'''(x) = sen x. Podemos escolher M=1, pois é verdade que |senx| ≤ 1 para todo x∈[0,1] Temos do teorema que, para todo x∈[0,1], |Rn(x)| ≤ M/(n+1)! |x-x0|^(n+1) ⇒ |R2(x)| ≤ 1/(2+1)! |x-0|^(2+1) ⇒ |R2(x)| ≤ 1/3! |x|^3. Para x∈[0,1] temos |x| ≤ 1, logo |x|^3 ≤ 1^3 ⇔ |x| ≤ 1. Segue que 1/6 |x|^3 ≤ 1/6 ⋅ 1 e |R2(x)| ≤ 1/6 |x|^3 ≤ 1/6 ⋅ 1 ⇒ |R2(x)| ≤ 1/6 para x∈[0,1]. Teorema 8.1.12 Seja f(x) uma função diferenciável n+1 vezes em um intervalo I contendo x=x0 e suponha que |f^(n+1)(x)| ≤ M para todo x∈I. Então, para todo x∈I, |Rn(x)| ≤ M/(n+1)! |x-x0|^(n+1). Exemplo 8.1.13 Use o Teorema 8.1.12 para determinar um valor para n tal que a aproximação de f(x)=e^x no intervalo [-1,1] por seu n-ésimo polinômio de MacLaurin tenha erro menor que 10^-5. A função f(x) = e^x é infinitamente diferenciável em I = [-1,1]. Devemos escolher um número M ∈ R tal que |f^(n+1)(x)| ≤ M, onde f^(n)(x) = e^x para todo k>1. Logo |e^x| ≤ M ⇔ e^x ≤ M, para x∈[-1,1]. Podemos escolher M = e = 2,71... pois e^x ≤ e, para x∈[-1,1]. Segue que, para x∈[-1,1], |Rn(x)| ≤ M/(n+1)! |x-x0|^(n+1) ⇒ |Rn(x)| ≤ e/(n+1)! |x-0|^(n+1) Para x∈[-1,1] temos |x| ≤ 1, logo |x|^(n+1) ≤ 1^(n+1) e |x|^(n+1) ≤ 1. Então, para x∈[0,1], e/(n+1)! |x|^(n+1) ≤ e/(n+1)! ⋅ 1, logo |Rn(x)| ≤ e/(n+1)! |x|^(n+1) ≤ e/(n+1)! ⋅ 1 ⇒ |Rn(x)| ≤ e/(n+1)!, para x∈[-1,1]. n = 2 : |Rn(x)| ≤ e/3! ≈ 0,453046 n = 3 : |Rn(x)| ≤ e/4! ≈ 0,113261 n = 4 : |Rn(x)| ≤ e/5! ≈ 0,022652 ... n = 7 : |Rn(x)| ≤ e/8! ≈ 0,000067418 = 6,7488 ⋅ 10^-5 n = 8 : |Rn(x)| ≤ e/9! = 0,000007491 = 7,491 ⋅ 10^-6. Para n=8 já temos um erro menor que 10^-5 na aproximação em questão. Idade (dias) ≤ 21.0 MAE = 13.378 Amostras = 875 Resistência = 33.96 Verdadeiro Cimento ≤ 354.5 MAE = 9.904 Amostras = 281 Resistência = 21.48 Idade (dias) ≤ 10.5 MAE = 7.053 Amostras = 196 Resistência = 16.185 (...) Superplastificante ≤ 6.2 MAE = 8.958 Amostras = 85 Resistência = 34.9 (...) Falso Cimento ≤ 357.5 MAE = 12.147 Amostras = 594 Resistência = 39.58 Cimento ≤ 159.45 MAE = 10.169 Amostras = 469 Resistência = 36.8 (...) Água ≤ 183.05 MAE = 11.09 Amostras = 125 Resistência = 57.6 (...) Vimos que, dentro de certas condições, quanto maior o valor de n, melhor é a aproximação. Parece então natural considerar o limite destes polinômios quando n se aproxima de infinito : A expressão acima é uma série, isto é, uma soma infinita, mas diferente daquelas vistas anteriormente por conter uma variável. Note que ao atribuir um valor a x obtemos uma série de números reais, como vistas nas aulas anteriores: Séries de Potências Exemplo 8.2.4 Determine a série de MacLaurin da função f(x) = sen x. k | f^(k)(x) | f^(k)(0) 0 1 2 3 4 5 ... | ... | ... ⇒ f^(k)(0) = ___ ? para k≥0. Séries de Potências Exemplo 8.2.7 Sabemos que a série definida por uma progressão geométrica de razão |r| < 1 converge. Por exemplo, temos ∑_(n=0)^∞ rn = 1 + r + r^2 + ... + rn + ... = 1/(1-r), para |r| < 1. (8.9) Teorema 7.4.4 A série geométrica ∑_(n=0)^∞ ar^n = a + ar + ar^2 + ... é convergente se |r| < 1 e divergente se |r| ≥ 1. Mais ainda, se |r| < 1, ∑_(n=0)^∞ ar^n = a/(1-r). Definição 8.2.8 Uma série da forma ∑_(k=0)^∞ ckx^k, onde c0, c1,... são números reais e x é uma variável, é dita uma série de potências. Teorema 8.2.9 Para qualquer série de potências ∑_k c_kx^k, exatamente uma das afirmações abaixo é verdadeira. (i) A série é convergente apenas para x = 0. Dizemos neste caso que o raio de convergência é 0. (ii) A série converge absolutamente para todo número real x. Dizemos neste caso que o raio de convergência é infinito. (iii) Existe um número real R > 0 tal que a série converge absolutamente para x ∈ (-R, R) e diverge para todo x ∈ (-∞, -R) ∪ (R, +∞). Dizemos neste caso que o raio de convergência é R. Nos pontos x = R e x = -R a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo de cada série particular. Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja ∑a_n uma série de números reais não-nulos. Considere o limite lim (n→∞) |a_(n+1)/a_n| = ρ. (i) Se ρ < 1, então a série ∑a_n converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se ρ > 1 ou ρ = +∞, então a série ∑a_n diverge. (iii) Se ρ = 1, então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. □ Exemplo 8.2.10 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências ∑ (k=0 to ∞) x^k. □ Exemplo 8.2.11 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências ∑ (k=0 to ∞) x^k/k!. □ Exemplo 8.2.12 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências ∑ (k=0 to ∞) k! x^k. Definição 8.2.13 Seja x_0 um número real qualquer e x uma variável. Uma série da forma ∑ (k=0 to ∞) c_k (x−x_0)^k, Teorema 8.2.14 Para qualquer série de potências ∑_k c_k(x−x_0)^k, exatamente uma das afirmações abaixo é verdadeira. (i) A série é convergente apenas para x = x_0. Dizemos neste caso que o raio de convergência é 0. (ii) A série converge absolutamente para todo número real x. Dizemos neste caso que o raio de convergência é infinito. (iii) Existe um número real R > 0 tal que a série converge absolutamente para x ∈ (x_0−R, x_0+R) e diverge para todo x ∈ (−∞, x_0−R) ∪ (x_0+R, +∞). Dizemos neste caso que o raio de convergência é R. Nos pontos x = x_0+R e x = x_0−R a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo de cada série particular. □ Exemplo 8.2.15 Determine o raio e o intervalo de convergência da série ∑ (k=0 to ∞) k(x+2)^k/3(k+1).