Problemas Resolvidos-2023-2

Teorema 8.2.14 Para qualquer série de potências \(\sum c_k(x-x_0)^k\), exatamente uma das afirmações abaixo é verdadeira. (i) A série é convergente apenas para \(x = x_0\). Dizemos neste caso que o raio de convergência é 0. (ii) A série converge absolutamente para todo número real \(x\). Dizemos neste caso que o raio de convergência é infinito. (iii) Existe um número real \(R > 0\) tal que a série converge absolutamente para \(x \in (x_0-R,x_0+R)\) e diverge para todo \(x \in (-\infty,x_0-R) \cup (x_0+R,+\infty)\). Dizemos neste caso que o raio de convergência é \(R\). Nos pontos \(x = x_0+R\) e \(x = x_0-R\) a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo de cada série particular. ■ Exemplo 8.2.15 Determine o raio e o intervalo de convergência da série \( x_0 = 3 \Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty} \frac{5^k}{3^{k+1} \cdot k}\) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x+2)^k}{3^{k+1} \cdot k}\) Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja \(\sum a_n\) uma série de números reais não-nulos. Considere o limite \\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho. \\] (i) Se \(\rho < 1\), então a série \(\sum a_n\) converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se \(\rho > 1\) ou \(\rho = +\infty\), então a série \(\sum a_n\) diverge. (iii) Se \(\rho = 1\), então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Seja \(a_n = \frac{(x+2)^k}{3^{k+1} \cdot k}, \ n\geq1 \). Então, para \(x \neq -2\), \[\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(x+2)^{k+1}}{3^{k+1} \cdot (k+1)} \cdot \frac{3^k \cdot k}{(x+2)^k} \right| = \left| \frac{(x+2)^{k+1}}{(x+2)^k} \cdot \frac{3^{k+1}}{3^k} \cdot \frac{k}{k+1} \right| = \left| (x+2) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1+1/k} \right| \xrightarrow{k \to \infty} \left| (x+2) \cdot \frac{1}{3} \right| = \left| \frac{x+2}{3} \right| \] isto é, \(\beta = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| x+2 \right| \cdot \frac{1}{3}.\ A série converge absolutamente se \(\beta < 1\): \(\left| x+2 \right| \cdot \frac{1}{3} < 1 \iff \left| x+2 \right| < 3 \iff -3 < x+2 < 3 \iff -5 < x < 1.\ A série diverge se \(\beta > 1\): \(\left| x+2 \right| \cdot \frac{1}{3} > 1 \iff \left| x+2 \right| > 3 \iff x+2 > 3 \ \text{ou} \ x+2 < -3 \iff x > 1 \ \text{ou} \ x < -5.\ Não podemos afirmar nada com este teste se \(\beta = 1\) \(\left| x+2 \right| \cdot \frac{1}{3} = 1 \iff \left| x+2 \right| = 3 \iff x+2 = 3 \ \text{ou} \ x+2 = -3 \iff x = 1 \ \text{ou} \ x = -5.\ (diverge converge diverge) Precisamos verificar \(x = -5\) e \(x = 1\) de outra forma: Para \(x = 1\) temos \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x+2)^k}{3^{k+1} \cdot k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^k}{3^{k+1} \cdot k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3k}\) divergente pois \(\sum \frac{1}{k}\) diverge \((\sum \frac{1}{n^p} \ \text{com} \ p \leq 1)\). Para \(x = -5\) temos \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x+2)^k}{3^{k+1} \cdot k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-3)^k}{3^{k+1} \cdot k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 3^k}{3^{k+1} \cdot k} = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{1}{3k}.\ convergente pois é da forma \(\sum (-1)^k b_k \) com \(b_k = \frac{1}{3k} > 0\) \(\forall k\) e \(b_k\) uma sequência decrescente com \(\lim_{k \to \infty} b_k = 0\) (teste de séries alternadas). Intervalo de convergência: \(I = [-5,1].\) Raio de convergência: \(R = 3.\) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. \\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2} \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^2}{\sqrt{n^5-n^3}} \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3n-2}{(n+2)^2} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n^4-1} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} \\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{n^4-1} \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{3n+1} \frac{n!}{2^n} \\ Temos \ a_n=\frac{n^3}{n^4-1} > 0 \ \forall n\ge 2. \ Seja \ b_n=\frac{n^3}{n^4-1} = \frac{1}{n}, \ n\ge 2. \\ Sabemos que \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} diverge, pois é da forma \sum \frac{1}{n^p} \\ com \ p\le 1. \Como\\ \quad \frac{a_n}{b_n} = \frac{\frac{n^3}{n^4-1} \cdot \frac{1}{b_n}}{\frac{n^4}{n^4-1}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{n^4}}, \, n \to \infty \to 1,\\ temos pelo teste do limite de comparação que \sum a_n diverge pois \sum b_n diverge.\\\hline\\ Seja \ a_n=\frac{\ln n}{n}, \ n\ge 1. \ Temos \ a_n > 0 \ \forall n\ge 2 e\\ f(x)=\frac{\ln x}{x} \text{ contínua para } x>1. \ Como\\ f'(x)=\frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2} < 0 \text{ para } x>e,\\ f(x) \text{ é decrescente para } x>3 \text{ e o teste da integral pode ser aplicado:} \int_3^t \frac{\ln x}{x} \, dx = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_{x=3}^{x=t} = \frac{(\ln t)^2}{2} - \frac{(\ln 3)^2}{2} \quad t \to \infty \to +\infty.\\ \begin{array}{l} \qquad \begin{array}{\l} u=\ln x \\ du = \frac{1}{x} dx \end{array} \Leftrightarrow dx = x du \Rightarrow \int \frac{\ln x}{x} \, dx = \int \frac{u}{x} du \\ \qquad \quad = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + c \end{array} \\ \text{Segue do teste de integral que a série diverge.} Exercício. Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências