Problemas Resolvidos Convergência de Séries de Potências-2023-2

Definição 8.2.13 Seja x_0 um número real qualquer e x uma variável. Uma série da forma \( \sum_{k=0}^{\infty} c_k (x - x_0)^k \). Teorema 8.2.14 Para qualquer série de potências \( \sum_{k} c_k (x - x_0)^k \), exatamente uma das afimações abaixo é verdadeira. (i) A série é convergente apenas para \( x = x_0 \). Dizemos neste caso que o raio de convergência é 0. (ii) A série converge absolutamente para todo número real x. Dizemos neste caso que o raio de convergência é infinito. (iii) Existe um número real \( R > 0 \) tal que a série converge absolutamente para \( x \in (x_0 - R, x_0 + R) \) e diverge para todo \( x \in (-\infty, x_0 - R) \cup (x_0 + R, +\infty) \). Dizemos neste caso que o raio de convergência é R. Nos pontos \( x = x_0 + R \) e \( x = x_0 - R \) a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo de cada série particular. Exemplo 8.2.15 Determine o raio e o intervalo de convergência da série [x+2 = x-x_0 para x_0=-2] \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+2)^k}{3^{k+1} \times k} \) [Quotient Test work below the text] ésico em x=-2 [Seja a_n = (x+2)^n / 3^{n+1}.k. Então, para x ≠ -2] \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{(x+2)^{k+1} \times [3^{k+1}.k]^{-1}}{(x+2)^k [3.k]^{-1}} \rightarrow (x+2) . \frac{1}{3} . \frac{k}{k+1} \rightarrow [k → ∞] \rightarrow (x+2) . \frac{1}{3} . 1 A série converge absolutamente se \( \beta < 1 \): \left| x+2 ight| . \frac{1}{3} < 1 \equiv \left| x+2 \right| < 3 \equiv -3 < x+2 < 3 \equiv -5 < x < 1. A série diverge se \( \beta > 1 \): \left| x+2 \right| . \frac{1}{3} > 1 \equiv \left| x+2 \right| > 3 \equiv x + 2 > 3 \text{ ou } x + 2 < -3 \equiv x > 1 \text{ ou } x < -5. Não podemos afirmar nada com este teste se \( \beta = 1 \): \left| x+2 \right| . \frac{1}{3} = 1 \equiv \left| x+2 \right| = 3 \equiv x+2 = 3 \text{ ou } x+2 = -3 \equiv x = 1 \text{ ou } x = -5. \text{ [Visual representation indicating divergence and convergence] } Precisamos verificar \frac{(x+2)^k}{k . 3^{k+1}} \text{ para } x = 1: \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k . 3} \left [ \frac{(-1)^k}{k . 3} \right] Convergência de série de potências. Se \( f(x) \) possui série de Taylor convergente para um certo número \( x = x_0 \), é natural, a partir da discussão no início desta seção, esperar que o valor do limite da série seja o próprio valor de função \( f \): \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!} = f(x) \), isto é, \( \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!} = f(x) \). (8.11) No entanto, é possível que a série de Taylor de uma função converja para um valor diferente. Este é o caso da função \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp(-1/x^2) & \text{para } x \neq 0, \\ 0 & \text{para } x = 0. \end{array} \right. \) Veja a Figura 8.11. É possível provar que: (i) \( f(x) \) é infinitamente diferenciável em \( x = 0 \) e (ii) \( f^{(k)}(0) = 0 \) para todo \( k \geq 1 \) Segue que a série de MacLaurin de \( f \) é dada por \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0) x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} 0 . x^k. \) Logo a série de MacLaurin de \( f \) é convergente para todo \( x \in \mathbb{R} \) e fornece o valor 0 para todo \( x \in \mathbb{R} \), o que não coincide com o valor que \( f \) assume. Teorema 8.3.1 Sejam \( f(x) \) uma função infinitamente diferenciável em \( x = x_0 \) e \( R_n(x) \) como na Equação (8.8). A igualdade \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!} = f(x) \) é válida se e somente se \( \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0. \) \( R_n(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!} . \) É importante observar que o Teorema 8.3.4 oferece uma expressão algébrica para as funções acima no domínio indicado. Mais ainda, como as igualdades do Teorema 8.3.4 valem para todo x no intervalo especificado, Exercício 8.3.5 Use as séries de MacLaurin do Teorema 8.3.4 para obter as séries de MacLaurin das funções abaixo. Determine também o intervalo de convergência em cada caso. (i) f(x) = \frac{1}{1-5x} (ii) g(x) = \ln(1-2x^2) para -1 < x < 1; (iii) h(x) = \cos(x^3) \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} para -1 < x < 1; Teorema 8.3.6 Se uma série de potências \sum c_k(x-x_0)^k tem raio de convergência R > 0, então a função definida por f(x) = c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)^2 + c_3(x-x_0)^3 + \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} c_k(x-x_0)^k é diferenciável no intervalo (x_0-R, x_0+R) e (i) f'(x) = c_1 + 2c_2(x-x_0) + 3c_3(x-x_0)^2 + \ldots = \sum_{k=1}^{\infty} kc_k(x-x_0)^{k-1}, (ii) \int f(x)dx = C + c_0x + c_1 \frac{(x-x_0)^2}{2} + c_2 \frac{(x-x_0)^3}{3} + \ldots = \sum_{k=0}^{\infty} c_k \frac{(x-x_0)^{k+1}}{k+1} + C. O raio de convergência das séries dos itens (i) e (ii) é R. Exercício 8.3.7 Use as séries de MacLaurin das funções \sen x e \cos x para verificar que \frac{d}{dx} \sen x = \cos x. \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} = \cos x \text{ para } x \in \mathbb{R}; \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sen x \text{ para } x \in \mathbb{R}. Exercício 8.3.8 Neste exercício determinamos a série de MacLaurin da função y = \arctan x sabendo que \arctan x = \int \frac{1}{(1+x^2)}dx. (8.13) (i) Determine a série de MacLaurin da função 1/(1+x^2) através da substituição u = -x^2 na série de MacLaurin para 1/(1-u). (ii) Determine o intervalo da reta onde a série obtida coincide com a função 1/(1+x^2). (iii) Calcule a integral termo a termo da série de MacLaurin da função 1/(1+x^2) no item (ii); esta será a série de MacLaurin da função \arctan x pela Equação (8.13).