Teorema do Erro e Séries de Maclaurin e de Taylor-2023-2

Teorema 8.1.12 Seja f(x) uma função diferenciável n + 1 vezes em um intervalo I contendo x = x₀ e suponha que |f^(n+1)(x)| ≤ M para todo x ∈ I. Então, para todo x ∈ I, |Rₙ(x)| ≤ M/(n+1)! |x - x₀|ⁿ⁺¹. Exemplo 8.1.13 Use o Teorema 8.1.12 para determinar um valor para n tal que a aproximação de f(x) = eˣ no intervalo [-1,1] por seu n-ésimo polinômio de MacLaurin tenha erro menor que 10⁻⁵. A função f(x) = eˣ é infinitamente diferenciável em I = [-1,1]. Devemos escolher um número M∊ℝ tal que |f^(n+1)(x)|≤M, onde f^(n)(x) = eˣ para todo x>1. Logo |eˣ|≤M⇔eˣ≤M para x∈[-1,1]. Podemos escolher M = e = 2,71...1 , pois eˣ≤e para x∈[-1,1]. Segue que, para x∈[-1,1], |Rₙ(x)|≤M/(n+1)! |x-x₀|ⁿ⁺¹. ⇒ |Rₙ(x)| ≤ e/(n+1)! |x-x₀|ⁿ⁺¹ ⇒ |Rₙ(x)| ≤ e/(n+1)! |x|ⁿ⁺¹ para x∈[-1,1], e |x|ⁿ⁺¹ ≤ 1. Então, para x∈[0,1], temos |x| ≤ 1, logo |x|ⁿ⁺¹ ≤ 1. Teorema 8.1.12 Seja f(x) uma função diferenciável n + 1 vezes em um intervalo I contendo x = x₀ e suponha que |f^(n+1)(x)| ≤ M para todo x ∈ I. Então, para todo x ∈ I, |Rₙ(x)| ≤ M/(n+1)! |x - x₀|ⁿ⁺¹. Exemplo 8.1.13 Use o Teorema 8.1.12 para determinar um valor para n tal que a aproximação de f(x) = eˣ no intervalo [-1,1] por seu n-ésimo polinômio de MacLaurin tenha erro menor que 10⁻⁵. n=2: |Rₙ(x)| ≤ e/3! ≈ 0,453046 n=3: |Rₙ(x)| ≤ e/4! ≈ 0,1133261 n=4: |Rₙ(x)| ≤ e/5! ≈ 0,022652 ... n=7: |Rₙ(x)| ≤ e/8! ≈ 0,000067418 = 6,7418·10⁻⁵ n=8: |Rₙ(x)| ≤ e/9! = 0,000007491 = 7,491·10⁻⁶. Temos |Rₙ(x)| ≤ e/(n+1)! n→+∞ → 0, isto é, para x∈[-1,1], |Rₙ(x)| n→∞ → 0, |f(x) - pₙ(x)| n→∞ → 0, logo pₙ(x) n→∞ → f(x). pₙ(x) = 1 + X/1! + X²/2! + ... + Xⁿ/n!. Exemplo 8.2.4 Determine a série de MacLaurin da função f(x) = senx. Números pares: l | f^(l)(x) | f^(k)(0) 0 | sen x | 0 1 | cos x | 1 n=2k, k inteiro. 2 | -sen x | 0 3 | -cos x | -1 4 | sen x | 0 ... Números ímpares n=2k+1, k inteiro. 5 | cos x | 1 ... Temos Σₗ=0^∞ f^(l)(0)/l! xˡ ⇒ f^(2) = 0, para x>0. Temos f^(2k)(0) = 0 para x≥1 e f^(2k+1)(0) = ±1 para x≥0. Σₖ=0^∞ (-1)ᵏ x²ᵏ⁺¹/(2k+1)! Segue que a série é Σₗ=0^∞ f^(c)(0)/l! xˡ = Σₗpar f^(c)(0)/l! xˡ + Σₗímpar f^(c)(0)/l! xˡ =Σₗ=0^∞ f^(2k)(0)/(2k)! x²ᵏ + Σₖ=0^∞ f^(2k+1)(0)/(2k+1)! x = Σₖ=0^∞ (-1)ᵏ x²ᵏ⁺¹/(2k+1)! = x/1! + (-1)/3! x³ + 1/5! x⁵ - ... Séries de Potências Exemplo 8.2.7 Sabemos que a série definida por uma progressão geométrica de razão |r| < 1 converge. Por exemplo, temos ∞ ∑ r^n = 1 + r + r^2 + ... + r^n + ... = 1/(1−r), n=0 para |r|<1. para |r| < 1. (8.9) → a = 1 Esta série define uma função: para -1 < x < 1 podemos considerar ∞ ∑ x^n . f(x) = n=0 Teorema 7.4.4 A série geométrica ∞ ∑ ar^n = a + ar + ar^2 + ... n=0 é convergente se |r| < 1 e divergente se |r| ≥ 1. Mais ainda, se |r| < 1, ∞ a ∑ ar^n = --------. n=0 1−r Definição 8.2.8 Uma série da forma ∞ ∑ c_k x^k, k=0 onde c_0, c_1, ... são números reais e x é uma variável, é dita uma série de potências. Para c_k = 1 para todo k ≥ 0 :∞ ∑ x^k k=0 ∞ (1/2)^k ∑ c_k x^k, => ∑ ^ ∑ ---- k=0 k->0 k=0 = 1 + 1/2 ------------ + (1/2)^2 +... Para c_k = 1 k->0 |k| k! ∞ Teorema 8.2.9 Para qualquer série de potências Σ_k c_k x^k, exatamente uma das afirmações abaixo é verdadeira. (i) A série é convergente apenas para x = 0. Dizemos neste caso que o raio de convergência é 0. (ii) A série converge absolutamente para todo número real x. Dizemos nesse caso que o raio de convergência é infinito. (iii) Existe um número real R > 0 tal que a série converge absolutamente para x ∈ (−R,R) e diverge para todo x ∈ (−∞,−R) ∪ (R,+∞). Dizemos neste caso que o raio de convergência é R. Nos pontos x = R e x = −R a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo de cada série particular. diverge converge diverge diverge diverge Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja ∑ a_n uma série de números reais não-nulos. Considere o limite |a_(n+1)| lim |--------| n→∞ | a_n | = ρ. (i) Se ρ < 1, então a série ∑ a_n converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se ρ > 1 ou ρ = +∞, então a série ∑ a_n diverge. (iii) Se ρ = 1, então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Exemplo 8.2.11 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências ∞ ∑ x^k / k! k=0 Exemplo 8.2.12 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências ∞ ∑ k! x^k. k=0 Exemplo 8.2.10 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências ∞ ∑ x^k. k=0 1 0 Consideramos a_n = x^k, para x ≠ 0 fixo. Transformando | a_(n+1) | = | -------- | |a_n | = Brackets | x^(k+1) ----------- x^k | = |x| → lim où x → x^x n → ∞ k → ∞ → A série converge absolutamente se ρ ≤ 1 ⇔ |x| < 1 ⇔ x∈ (-1,1). A série diverge se ρ > 1 ⇔ |x| > 1 ⇔ x > 1 e x < >1. Não podemos afirmar nada com este teste se ρ = 1 ⇔ |x| = 1 ⇔ x±1. Para verificar com x = 1 e x = -1 de outra forma: ∞ Ex┤ ∑ k=0 x^k com x = 1 : ∑ k=0 b^k divergente pelo teste do termo geral ( Σ b_k com b_k ≠ 0 ). ∞ k=0 x^k com x = -1: ∑ k=0 (−1)^k divergente pelo teste do termo geral ( Σ b_ҳ com b_ҳ ≠ 0 ). Logo a série converge para x∈ I = (−1,1) e o raio de convergência é R = 1. Exemplo 8.2.11 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências Σ (k=0 to ∞) x^k / k!. Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja Σa_n uma série de números reais não-nulos. Considere o limite lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n| = ρ. (i) Se ρ < 1, então a série Σa_n converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se ρ > 1 ou ρ = +∞, então a série Σa_n diverge. (iii) Se ρ = 1, então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Seja a_n = x^n / n!, n ≥ 0. Então, para x ≠ 0, temos |a_(n+1) / a_n| = |x^(n+1) / (n+1)! / (x^n / n!)| = |x^(n+1) / (n+1)! * n! / x^n| = |x * 1 / (n+1)| = |x| / (n+1), (n → ∞) → 0, para x ≠ 0 qualquer fixado. Segue que a série converge para todo x ≠ 0, e já sabíamos que a série converge para x = 0: Σ (k=0 to ∞) x^k / k! = 1 + x / 1! + x^2 / 2! + ... para x = 0 fornece 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1. Intervalo de convergência: ℝ. Raio de convergência: R = +∞. Exemplo 8.2.12 Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências Σ (k=0 to ∞) k! x^k. Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja Σa_n uma série de números reais não-nulos. Considere o limite lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n| = ρ. (i) Se ρ < 1, então a série Σa_n converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se ρ > 1 ou ρ = +∞, então a série Σa_n diverge. (iii) Se ρ = 1, então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Seja a_n = k! x^k, n ≥ 0. Então, para x ≠ 0, temos |a_(n+1) / a_n| = |(n+1)! x^(n+1) / (k! x^k)| = |(n+1)! x| = (n+1) |x| (n → ∞) → +∞. Segue que a série converge apenas para x = 0: Σ (n=0 to ∞) n! x^n = 1 + 1! x^1 + 2! x^2 + 3! x^3 + ... para x = 0 temos 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1. Intervalo de convergência: I = {0}. Raio de convergência: R = 0. Definição 8.2.13 Seja x_0 um número real qualquer e x uma variável. Uma série da forma Σ (k=0 to ∞) c_k (x−x_0)^k, Teorema 8.2.14 Para qualquer série de potências Σk c_k (x−x_0)^k, exatamente uma das afirmações abaixo é verdadeira. (i) A série é convergente apenas para x = x_0. Dizemos neste caso que o raio de convergência é 0. (ii) A série converge absolutamente para todo número real x. Dizemos neste caso que o raio de convergência é infinito. (iii) Existe um número real R > 0 tal que a série converge absolutamente para x ∈ (x_0−R, x_0+R) e diverge para todo x ∈ (−∞, x_0−R) ∪ (x_0+R, +∞). Dizemos neste caso que o raio de convergência é R. Nos pontos x = x_0 + R e x = x_0 − R a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo de cada série particular. Exemplo 8.2.15 Determine o raio e o intervalo de convergência da série Σ (k=0 to ∞) k(x+2)^k / 3^(k+1). Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja Σa_n uma série de números reais não-nulos. Considere o limite lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n| = ρ. (i) Se ρ < 1, então a série Σa_n converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se ρ > 1 ou ρ = +∞, então a série Σa_n diverge. (iii) Se ρ = 1, então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste.