Testes da Integral e da Comparação-2023-2

Importante! Mesmo quando o Teste da Integral (Teorema 7.6.1) fornece a convergência, não é possível afirmar que o valor da integral coincide com o valor da série: \int_a^{\infty} f(x) \, dx \neq \sum_{n=1}^{\infty} a_n. Exemplo 7.6.3 Prove que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} é divergente usando o teste da integral. Teorema 7.6.1 — Teste da Integral. Seja \sum_{n=a}^{\infty} a_n uma série de números reais positivos tal que a_n = f(n) para n \geq 1. Suponha que existe a \geq 1 tal que f(x) é contínua e monótona decrescente para x \in [a, +\infty). Então: (i) se \int_a^{\infty} f(x) \, dx é convergente então \sum_{n=1}^{\infty} a_n é convergente; (ii) se \int_a^{\infty} f(x) \, dx é divergente então \sum_{n=1}^{\infty} a_n é divergente. 1. Números reais positivos: \frac{1}{n}>0 para todo n\geq 1, ok! 2. f(x)=\frac{1}{x} contínua em [1, +\infty) Como g(x) = 1 e h(x) = x são contínuas, f(x) é contínua para x \geq 1 pois o denominador não se anula para x \geq 1. 3. f(x)=\frac{1}{x} decrescente em [1, +\infty) Temos f'(x) =-\frac{1}{x^2}, logo f'(x) < 0 para x > 1 e f(x) é decrescente para x \geq 1. Temos \int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx = \lim_{t\to\infty} \int_1^t \frac{1}{x} \, dx = \ln |t| - \ln |1| = \ln t \to + \infty. \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx diverge temos \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} divergente. Exemplo 7.6.4 Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3} é convergente ou divergente. 1. Números reais positivos: 2n+1 > 0 para n \geq 1, logo \frac{1}{(2n+1)^3}>0. 2. f(x)=\frac{1}{(2x+1)^3} contínua em [1, +\infty)? Como g(x)=(2x+1) é contínua em [1, +\infty) e não se anula em [1, +\infty), então \frac{1}{(2x+1)^3} é contínua em [1, +\infty). 3. f(x)=\frac{1}{(2x+1)^3} decrescente em [1, +\infty)? Temos f'(x)=-(2x+1)^{-4} \cdot 2, e a função é decrescente em [1, +\infty). Podemos portanto aplicar o teste da integral. Temos \int_1^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^3} \, dx = \lim_{t\to\infty} \int_1^t \frac{1}{(2x+1)^3} \, dx, onde \int_1^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^3} \, dx = \int_1^t (2x+1)^{-3} \, dx = \frac{1}{2} (2x+1)^{-2} \bigg|_1^t = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(2x+1)^2} \bigg|_1^t = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(2x+1)^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(2x+1)^2} \to \frac{1}{36} Como \int_1^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^3} \, dx converge, a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3} converge pelo teste da integral. Teorema 7.6.5 A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} é convergente para \mid > 1 e divergente para p \leq 1. Exercício 7.6.6 Prove o Teorema 7.6.5. (i) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4/3}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}, com p = \frac{4}{3} > 1, logo a série é convergente. (ii) \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{\sqrt{n}}} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^p}, com p = \frac{4}{3} > 1, logo a série é convergente. Como Σbn converge, segue do teste do limite da comparação que Σ an = Σ 1/n^2+3n converge. Exemplo 7.7.6 Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (i) Σ 1/n^3-2n (ii) Σ 5/3^n+1 (ii) Seja an = 1/3^n+1 para n≥1. Temos 5/3^n+1 > 0 para n≥1, ok. Para n grande temos 3^n + 1 ≈ 3^n e 5/3^n+1 ≈ 5/3^n. Seja bn = 5/3^n, n≥1. Sabemos que Σbn converge pois é da forma 5/3^n = 5.(1/3)^n = a r^n com a=5 e r=1/3, logo, como |r|<1, Σbn converge e Σbn também. Temos lim n→∞ an/bn = lim n→∞ 5/3^n+1 ⋅ 3^n = lim n→∞ 3^n/3^n+1 = lim n→∞ 3^n.ln3/3^n.ln3+0 = 1. L'Hospital: ∞/∞ Como Σbn converge, segue do teste do limite da comparação que Σ an = Σ 1/n^2+3n converge. Teste da Raiz Teorema 7.8.5 — Teste da Raiz. Seja \( \sum a_n \) uma série de termos positivos e considere o limite \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} (a_n)^{1/n} = \rho \). (i) Se \( \rho < 1 \), então a série \( \sum a_n \) converge. \[ \bullet \] Exemplo 7.7.3 Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (iii) Se \( \rho = 1 \), então o teste da raiz é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Teste da Razão Teorema 7.8.1 — Teste da Razão. Seja \( \sum a_n \) uma série de termos positivos e considere o limite \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho \). (i) Se \( \rho < 1 \), então a série \( \sum a_n \) converge. (ii) Se \( \rho > 1 \) ou \( \rho = +\infty \), então a série \( \sum a_n \) diverge. (iii) Se \( \rho = 1 \), então o teste da razão é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. \[ \bullet \] Exemplo 7.8.3 Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (i) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{3^n} \) (ii) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!} \) (i) Seja \( a_n = \frac{2n}{3^n} \), \( n > 1 \).