Teste do Limite da Comparação e Séries Alternada-2023-2

Exemplo 7.6.4 Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3} é convergente ou divergente. 1. Números reais positivos: 2n+1 > 0 para n \geq 1, logo \frac{1}{(2n+1)^3} > 0. 2. f(x) = \frac{1}{(2x+1)^3} contínua em [1,+\infty)? Como g(x) = (2x+1)^3 é contínua em [1,+\infty) e não se anula em [1,+\infty) , então \frac{1}{(2x+1)^3} é contínua em [1,+\infty). 3. f(x) = \frac{1}{(2x+1)^3} decrescente em [1,+\infty)? Temos f(x) = (2x+1)^{-3}, logo f'(x) = -3(2x+1)^{-4} \cdot 2, onde 2x+1 >0 em [1,+\infty). Então f'(x)<0 em [1,+\infty) e a função é decrescente em [1,+\infty). Podemos portanto aplicar o teste da integral. Temos \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{(2x+1)^3}dx = \lim_{t\to+\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{(2x+1)^3}dx, onde Importante! Não podemos afirmar que a série converge para o valor obtido de 1/36 para a integral. Teste do Limite da Comparação aula passada! Teorema 7.7.5 Sejam \sum a_n e \sum b_n séries de números reais positivos. Se \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c, para algum número real c > 0, então ambas as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem. Exemplo 7.7.6 Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (i) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3-2n} (ii) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{3^n+1} (i) Seja a_n = \frac{5}{3^n+1} para n \geq 1. Temos \frac{5}{3^n+1} > 0 para n \geq 1. Para n grande temos 3^n+1 \approx 3^n , logo a_n = \frac{5}{3^n+1} \approx \frac{5}{3^n} = b_n , para n grande, onde \sum_{n=1}^{\infty}a_n = 5\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ com } a = 5 \text{ e } r = \frac{1}{3}. Então, como |r|<1, \sum b_n converge. Sejam a_n = \frac{5}{3^n+1}, b_n = \frac{5}{3^n} para n \geq 1. Temos \frac{a_n}{b_n} = \frac{\frac{5}{3^n+1}}{\frac{5}{3^n}} = \frac{5}{3^n+1}\cdot \frac{3^n}{5} = \frac{3^n}{\cancel{3^n}+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{3^n}} \xrightarrow{n\to\infty} 1. Como \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1, ambas divergem ou ambas convergem. Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{3^n} converge \left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^n \text{ com } |r|<1\right), logo \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{3^n+1} convergen. Teste da Razão Teorema 7.8.1 — Teste da Razão. Seja ∑a_n uma série de termos positivos e considere o limite lim n→∞ (a_(n+1) / a_n) = ρ. (i) Se ρ < 1, então a série ∑a_n converge. (ii) Se ρ > 1 ou ρ = +∞, então a série ∑a_n diverge. (iii) Se ρ = 1, então o teste da razão é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Exemplo 7.8.3 Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (i) ∑ (2n / 3^n) n=1 to ∞ (ii) ∑ (n^n / n!) n=1 to ∞ https://www.ime.unicamp.br/~ruffino/cursos/2017-1sem/ma111-2017/Limite_exponencial_fundamental.pdf Séries Alternadas Atenção! O teorema a seguir é da forma "se p então q", onde p é a hipótese numerada com 1, 2 e 3, q é a conclusão "a série é convergente". Usamos o teorema para concluir, no caso em que p é verdadeiro, que a série converge. Se p é falso, ou seja, se 1, 2 ou 3 falha, nada podemos concluir. Teorema 7.9.1 Considere uma série de números reais escrita como ∑ (-1)^n a_n n=1 to ∞ ou ∑ (-1)^(n+1) a_n n=1 to ∞, onde {a_n}_n=1^∞ define uma sequência monótona decrescente de números positivos. Se lim n→∞ a_n = 0 então a série é convergente. Exemplo 7.9.2 Verifique em cada um dos casos abaixo se a série converge (provando que a série satisfaz as hipóteses do Teorema 7.9.1) ou diverge. (i) ∑ (-1)^n / n n=1 to ∞ (ii) ∑ (-1)^(n+1) (5n+1) / (2n+3) n=1 to ∞ Teorema 7.9.1 Considere uma série de números reais escrita como ∑ (-1)^n a_n n=1 to ∞ ou ∑ (-1)^(n+1) a_n n=1 to ∞, onde {a_n}_n=1^∞ define uma sequência monótona decrescente de números positivos. Se lim n→∞ a_n = 0 então a série é convergente. Exemplo 7.9.2 Verifique em cada um dos casos abaixo se a série converge (provando que a série satisfaz as hipóteses do Teorema 7.9.1) ou diverge. (i) ∑ (-1)^n / n n=1 to ∞ (ii) ∑ (-1)^(n+1) (5n+1) / (2n+3) n=1 to ∞ Corolário 7.5.2 Se ∑a_n é uma série tal que lim n→∞ a_n ≠ 0, então ∑a_n é divergente. Convergência Absoluta e Condicional. valor absoluto valor absoluto Teorema 7.9.11 — Teste da Razão para Convergência Absoluta. Seja \( \sum a_n \), uma série de números reais não-nulos. Considere o limite \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho. \] (i) Se \( \rho < 1 \), então a série \( \sum a_n \) converge absolutamente e, portanto, converge. (ii) Se \( \rho > 1 \) ou \( \rho = +\infty \), então a série \( \sum a_n \) diverge. (iii) Se \( \rho = 1 \), então este teste é inconclusivo, isto é, nada podemos afirmar com este teste. Exercício 7.9.12 Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. (i) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} \)