Exercícios Resolvidos Cáculo Séries Finitas 2023 1

GRÁFICOS DE SEQUÊNCIAS Uma vez que sequências são funções, faz sentido falar sobre o gráfico delas. Por exemplo, o gráfico da sequência {1/n}∞n=1 é o gráfico da equação y = 1/n , n = 1, 2, 3, ... Como o lado direito dessa equação está definido somente para valores inteiros positivos de n, o gráfico consiste de uma sucessão de pontos isolados (Figura 9.1.1a). Isso é distinto do gráfico de y = 1/x, x ≥ 1 que é uma curva contínua (Figura 9.1.1b). Figura 9.1.1 LIMITES DE UMA SEQUÊNCIA Uma vez que sequências são funções, podemos indagar sobre os seus limites. Porém, como a sequência {an} está somente definida para valores inteiros de n, o único limite que faz sentido é o de an quando n → +∞. Na Figura 9.1.2, mostramos os gráficos de quatro sequências, cada uma comportando-se diferentemente quando n → +∞: • Os termos na sequência {n + 1} crescem sem cota. • Os termos na sequência {(-1)^n+1} oscilam entre -1 e 1. • Os termos na sequência {n/(n + 1)} crescem em direção a um "valor limite" de 1. • Os termos na sequência {1 + (1/2)^n} também tendem a um "valor limite" de 1, mas o fazem de forma oscilatória. De modo informal, o limite de uma sequência {an} pretende descrever como an comporta-se quando n → +∞. Para sermos mais específicos, diremos que uma sequência {an} tende a um limite L se os termos da sequência tornarem-se, finalmente, arbitrariamente 9.1 SEQUÊNCIAS Na linguagem do dia a dia, o termo “sequência” significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada: ordem cronológica, de tamanho ou lógica, por exemplo. Em Matemática, o termo é usado comumente para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinda por uma lei ou função. Nesta seção, desenvolveremos algumas das ideias básicas referentes a sequências de números. ■ DEFINIÇÃO DE SEQUÊNCIA Informalmente, uma sequência infinita, ou, mais simplesmente, uma sequência, é uma su- cessão sem fim de números, chamados de termos. Entende-se que os termos têm uma ordem definida, isto é, há um primeiro termo a1, um segundo termo a2, um terceiro termo a3, um quarto termos a4 e assim por diante. Tipicamente, uma sequência é escrita como a1, a2, a3, a4, . . . onde os pontos são usados para indicar que a sequência continua indefinidamente. Alguns exemplos específicos são Neste capítulo, consideraremos séries infinitas, que são somas que envolvem um número infinito de termos. As séries infinitas desempenham um papel fundamental, tanto na Matemática quanto na Ciência: elas são usadas, por exemplo, para aproximar funções trigonométricas e logarítmicas, para resolver equações diferenciais, para calcular integrais difíceis, para criar novas funções e para construir modelos matemáticos de leis físicas. Como é impossível efetuar diretamente a soma de um número infinito de termos, um objetivo será definir exatamente o que entendemos por soma de uma série infinita. Porém, diferentemente das somas finitas, nem todas as séries infinitas têm realmente uma soma, portanto precisamos desenvolver ferramentas que determinem quais séries infinitas têm soma e quais não têm. Uma vez desenvolvidas as ideias básicas, aplicaremos o nosso trabalho; mostraremos como as séries infinitas são utilizadas para calcular quantidades como ln 2, e, sen 3° e π, como elas são usadas para criar funções e, finalmente, como são usadas para modelar leis físicas. iStockphoto A perspectiva cria a ilusão de que a sequência de dormentes continua indefinidamente, mas converge em direção a um único ponto infinitamente distante. SÉRIES INFINITAS 9 Cada uma dessas sequências tem um padrão definido, o que torna fácil gerar termos adicionais se admitirmos que esses termos seguem o mesmo padrão que os termos apresentados. No entanto, tais padrões podem ser ilusórios, portanto é melhor ter uma regra ou fórmula para gerar os termos. Uma maneira de fazer isso é procurar uma função que relacione cada termo da sequência ao número da sua posição. Por exemplo, na sequência 2, 4, 6, 8, ... cada termo é o dobro do número da sua posição; isto é, o enésimo termo da sequência é dado pela fórmula 2n. Denotamos isso escrevendo a sequência como 2, 4, 6, 8, ... , 2n, ... Dizemos que a função f(n) = 2n é o termo geral dessa sequência. Agora, se quisermos saber um termo específico dela, precisamos somente substituir seu número de posição na fórmula do termo geral. Por exemplo, o 37-ésimo termo da sequência é 2 • 37 = 74. Exemplo 1 Em cada parte, determine o termo geral da sequência. (a) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... (b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... (c) 1/2, -2/3, 3/4, -4/5, ... (d) 1, 3, 5, 7, ... Solução (a) Na Tabela 9.1.1, os quatro termos conhecidos foram colocados abaixo de seu número de posição, de onde vemos que o numerador é igual ao número de posição e o denominador é o número de posição mais 1. Isso sugere que o enésimo termo tem o numerador n e o denominador n + 1, conforme indicado na tabela. Assim, a sequência pode ser expressa como Tabela 9.1.1 NÚMERO DE POSIÇÃO 1 2 3 4 ... n ... TERMO 1/2 2/3 3/4 4/5 ... n/(n + 1) ... Solução (b) Na Tabela 9.1.2, os denominadores dos quatro termos conhecidos foram expressos como potências de 2 e colocados abaixo do seu número de posição, de onde vemos que o expoente no denominador é igual ao número de posição. Isso sugere que o denominador do enésimo termo é 2^n, conforme indicado na tabela. Assim, a sequência pode ser expressa como 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ..., 1/2^n,... Solução (c) Esta sequência é idêntica àquela da parte (a), exceto pelos sinais alternados. Assim, o enésimo termo da sequência pode ser obtido multiplicando-se o enésimo termo da parte (a) por (-1)^(n+1). Esse fator produz corretamente os sinais alternados, uma vez que seus valores sucessivos, começando com n = 1, são 1, -1, 1, -1, 1, ... Assim, a sequência pode ser escrita como 1/2, -2/3, 3/4, -4/5, ..., (-1)^(n+1) • n/(n + 1) ... Tabela 9.1.2 NÚMERO DE POSIÇÃO 1 2 3 4 ... n ... TERMO 1 1 1 1 ... 1 ... 2^1 2^2 2^3 2^4 ... 2^n ... Solução (c) Esta sequência é idêntica àquela da parte (a), exceto pelos sinais alternados. Assim, o enésimo termo da sequência pode ser obtido multiplicando-se o enésimo termo da parte (a) por (-1)^n+1. Esse fator produz corretamente os sinais alternados, uma vez que seus valores sucessivos, começando com n = 1, são 1, -1, 1, -1, 1,... Assim, a sequência pode ser escrita como 1/2, -2/3, 3/4, -4/5, ..., (-1)^(n+1) • n/(n + 1) ... Tabela 9.1.3 NÚMERO DE POSIÇÃO 1 2 3 4 ... n ... TERMO 1 3 5 7 ... 2n - 1 ... Quando o termo geral de uma sequência a1, a2, a3, ..., an, ... 598 Cálculo for conhecido, não há necessidade de escrever os termos iniciais, e é comum escrever somen- te o termo geral envolvido por chaves. Assim, (1) pode ser escrita como Por exemplo, a seguir estão as quatro sequências do Exemplo 1 expressas em notação com chaves. 2 1 3 2 4 3 5 4 n + 1 n n + 1 n n + 1 n n + 1 n , , , , . . . , , . . . n=1 +∞ 2 1 4 1 8 1 16 1 2n1 2n1 , , , , . . . , , . . . n=1 +∞ 2 1 3 2 4 3 5 4 , – , , – , . . . , (–1)n+1 1, 3, 5, 7, . . . , 2n – 1, . . . {2n – 1} (–1)n+1 , . . . n=1 +∞ n=1 +∞ SEQUÊNCIA NOTAÇÃO COM CHAVES A letra n em (1) é chamada de índice da sequência. Não é essencial usar n como índice; qualquer letra que não estiver reservada para outros propósitos pode ser usada. Por exem- plo, podemos considerar o termo genérico da sequência a1, a2, a3, . . . como sendo o k-ésimo termo e, neste caso, denotaremos essa sequência como Além disso, não é essencial começar o índice em 1; às vezes, é mais conveniente começar em 0 (ou algum outro inteiro). Por exemplo, considere a sequência Uma forma de escrevê-la é Entretanto, o termo geral será mais simples se tomarmos como termo inicial o 0-ésimo termo; neste caso, podemos escrever a sequência como Começamos esta seção descrevendo uma sequência como uma sucessão sem fim de números. Embora isso transmita a ideia geral, não é uma definição matematicamente satis- fatória, pois depende do termo “sucessão”, que é um termo não definido. Para motivar uma definição precisa, considere a sequência 2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . Se denotarmos o termo geral por f(n) = 2n, então poderemos escrever essa sequência como f(1), f(2), f(3), . . . , f(n), . . . que é uma “lista” dos valores da função f(n) = 2n, n = 1, 2, 3, . . . cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos. Isso sugere a seguinte definição. 9.1.1 DEFINIÇÃO Uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto de inteiros. Tipicamente, o domínio de uma sequência é o conjunto dos inteiros positivos ou o con- junto dos inteiros não negativos. Consideramos a expressão como sendo uma notação alternativa para a função f (n) = an, n = 1, 2, 3, … e consideramos a expressão como uma notação alternativa para a função f(n) = an, n = 0, 1, 2, 3, . . . . Uma sequência pode não estar bem definida com alguns termos iniciais. Por exemplo, a sequência cujo termo geral é tem os três primeiros termos 1, 3 e 5, mas o quarto termo também é 5. Exercícios de compreensão 9.1: 1, 2, 3 e 4. Exercícios 9.1: 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 12, 31, 32, 33, 34, 50. Exercícios 9.2: 13, 14, 15. Exercícios de compreensão 9.3: 1 - 5. Exercícios 9.3: 1(a e b), 2(b), 3, 4, 6, 11, 17, 18, 19, 21 e 23. Exercícios 9.6: 13-28 Exercícios 9.7: 1-2, 7-16, 17-24 Exercícios 10.1: 1-12; 51-52, 62-63, 65-70 *********************************************************************************************************** Cálculo Vetorial Exercícios 15.1: 15-20, 23-26. Exercícios 15.2: 7-14, 19-48. Só os ímpares. Exercícios 15.3: 1-18. Só os ímpares. 600 Cálculo próximos de L. Geometricamente, isso significa que para qualquer número ε positivo há um ponto na sequência após o qual todos os termos estão entre as retas y = L - ε e y = L + ε (Figura 9.1.3). A definição a seguir torna essas ideias mais precisas. 9.1.2 DEFINIÇÃO Dizemos que uma sequência {a_n} converge para o limite L se dado qualquer ε > 0, existir um número inteiro positivo N₁ tal que |a_n - L| < ε se n ≥ N. Nesse caso, escrevemos lim n → +∞ a_n = L Dizemos que uma sequência diverge quando não convergir para algum limite finito. Exemplo 2 As duas primeiras sequências na Figura 9.1.2 divergem, enquanto que as duas restantes convergem para 1, isto é, lim n → +∞ n n + 1 = 1 e lim n → +∞ ⌊1+ ( 1 n ) ⌋² = 1 O teorema a seguir, que daremos sem prova, mostra que as propriedades usuais de limites aplicam-se a sequências. O teorema garante, ainda, que as técnicas algébricas usadas no cálculo de limites da forma lim x → +∞ também podem ser usadas para limites da forma lim n → +∞ . 9.1.3 TEOREMA Suponha que as sequências {a_n} e {b_n} converjam respectivamente para L₁ e L₂ e que c seja uma constante. Então, (a) lim n → +∞ c = c (b) lim n → +∞ ca_n = c lim n → +∞ a_n = cL₁ (c) lim n → +∞ (a_n + b_n) = lim n → +∞ a_n + lim n → +∞ b_n = L₁ + L₂ (d) lim n → +∞ (a_n - b_n) = lim n → +∞ a_n - lim n → +∞ b_n = L₁ - L₂ (e) lim n → +∞ (a_n b_n) = lim n → +∞ a_n ⋅ lim n → +∞ b_n = L₁ L₂ (f) lim n → +∞ ( a_n b_n ) = lim n → +∞ a_n lim n → +∞ b_n = L₁ L₂ (se L₂ ≠ 0) 601 Capítulo 9 / Séries infinitas Se o termo geral de uma sequência for f(n), em que f(x) é uma função definida em todo o intervalo [1, +∞), então os valores de f(n) podem ser vistos como “valores amostrais” de f(x) tomados nos inteiros positivos. Assim, se f(x) → L quando x → +∞, então f(n) → L quando n → +∞ (Figura 9.1.4a). Porém, a recíproca não é verdadeira; isto é, não se pode inferir que f(x) → L quando x → +∞ a partir do fato de que f(n) → L quando n → +∞ (Figura 9.1.4b). Exemplo 3 Em cada parte, determine se a sequência converge ou diverge examinando o limite quando n → +∞. (a) { 1 2n + 1 } ∞ n=1 (b) { (−1)ⁿ⁺¹ 2n + 1 } ∞ n=1 (c) { (−1)ⁿ⁺¹ 1 n } ∞ n=1 (d) {8 − 2n} ∞ n=1 Solução (a) Dividindo por n o numerador e o denominador e usando o Teorema 9.1.3, obtemos lim n → +∞ n 2n + 1 = lim n → +∞ 1 2 + 1/n = lim n → +∞ 1 2 + lim n → +∞ 1/n = 1 2 + 0 = 1 2 Assim, a sequência converge para 1 2 . Solução (b) Essa sequência é a mesma que da parte (a), exceto pelo fator (−1)ⁿ⁺¹, que oscila entre +1 e −1. Assim, os termos nessa sequência oscilam entre valores positivos e negativos, sendo que os termos com número de posição ímpar são idênticos aos da parte (a) e os termos com número de posição par são os negativos dos termos da parte (a). Uma vez que a sequência na parte (a) tem um limite de 1 2 , tem-se que os termos de posição ímpar nessa sequência tendem a 1 2 , enquanto que os termos de posição par tendem a − 1 2 . Logo, essa sequência não tem limite; ela diverge. Solução (c) Uma vez que 1/n →0, o produto (−1)ⁿ⁺¹(1/n) oscila entre valores positivos e negativos, sendo que os termos de posição ímpar tendem a zero através de valores positivos e os termos de posição par tendem a zero através de valores negativos. Desse modo, lim n → +∞ (−1)ⁿ⁺¹ 1 n = 0 de modo que a sequência converge para zero. Solução (d) lim n → +∞ (8 − 2n) = −∞, portanto a sequência {8 − 2n}^∞_{n=1} diverge. Exemplo 4 Em cada parte, determine se a sequência converge e, caso positivo, encontre seu limite. (a) 1, 1 2 , 1 2², 1 2³, …, 1 2ⁿ , … (b) 1, 2, 2², 2³, …, 2ⁿ , … Solução Substituindo n por x na primeira sequência, obtemos a função potência (1/2)ˣ e substituindo n por x na segunda sequência, obtemos a função potência 2ˣ. Lembre, ago- 602 Cálculo ra, que se 0 < b < 1, então bˣ → 0 quando x → +∞ e, se b > 1, então bˣ → +∞ quando x → +∞ (Figura 0.5.1, do Volume 1). Assim, lim n → +∞ 1 2ⁿ = 0 e lim n → +∞ 2ⁿ = +∞ de modo que a sequência {1/2ⁿ} converge a 0, mas a sequência {2ⁿ} diverge. Exemplo 5 Encontre o limite da sequência { n eⁿ } ∞ n=1 . Solução A expressão lim n → +∞ n eⁿ é uma forma indeterminada do tipo ∞/∞ quando n → +∞, logo pensamos na regra de L’Hôpital. No entanto, não podemos aplicar diretamente esta regra a n/eⁿ, pois as funções n e eˣ estão definidas somente nos inteiros positivos e, portanto, não são funções diferenciáveis. Para contornar esse problema, vamos estender os domínios dessas funções a todos os números reais, o que aqui implica substituir n por x e aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente x/eˣ. Assim, obtemos lim x → +∞ x eˣ = lim x → +∞ 1 eˣ = 0 de onde concluímos que lim n → +∞ n eⁿ = 0 Exemplo 6 Mostre que lim n → +∞ ⁿ√n = 1. Solução lim n → +∞ ⁿ√n = lim n → +∞ n¹/ⁿ = lim n → +∞ e(1/ⁿ)ln n = e⁰ = 1 Pela regra de L’Hôpital aplicada a (1/ⁿ)ln x Às vezes, os termos de posição par e ímpar comportam-se de forma suficientemente diferente, sendo desejável investigar separadamente a sua convergência. O teorema a seguir, cuja prova será omitida, é útil nesse caso. 9.1.4 TEOREMA Uma sequência converge para um limite L se, e somente se, ambas as sequências dos termos de posição par e dos termos de posição ímpar convergem para L. Exemplo 7 A sequência 1 2 , 1 3 , 1 2² , 1 3² , 1 2³ , 1 3³ , . . . converge para zero, uma vez que as sequências dos termos de posição par e ímpar convergem ambas para zero, e a sequência 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 , . . . diverge, uma vez que a sequência dos termos ímpares converge para 1 e a dos pares, para 0. TEOREMA DO CONFRONTO PARA SEQUÊNCIA O teorema a seguir, ilustrado na Figura 9.1.5 e que daremos sem prova, é uma adaptação do Teorema do Confronto (1.6.4, no Volume 1) para sequências. Este teorema será útil para encontrar limites de sequências, que não podem ser obtidos diretamente. 9.1 Analisando: 11 a) 1 / 3^{n-1} b) (-1)^{n-1} / 3^{n-1} c) (2n-1) / 2^n d) n^2 / n^{n+1} 13 a) \{ 1 + (-1)^n \} 2, 0, 2, 0 b) \{ \cos n\pi \} 1, -1, 1, -1 c) 2 + 2 \cos (n\pi) = 2 \left[ 1 + (-1)^n \] 14 a) Sao pares (2n)! b) ímpar (2n-1)! Capítulo 9 / Séries infi nitas 607 9.2 SEQUÊNCIAS MONÓTONAS Há muitas situações nas quais é importante saber se uma sequência converge, sendo, todavia, irrelevante para o problema o valor do limite. Nesta seção, vamos estudar várias técnicas que podem ser usadas para determinar se uma sequência converge. ■ TERMINOLOGIA Começamos com alguma terminologia. 9.2.1 DEFINIÇÃO Uma sequência é denominada estritamente crescente se a1 < a2 < a3 < · · · < an < · · · crescente se a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · estritamente decrescente se a1 > a2 > a3 > · · · > an > · · · decrescente se a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · Uma sequência que é ou crescente ou decrescente é denominada monótona, e uma sequência que é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente é denominada estritamente monótona. Alguns exemplos são dados na Tabela 9.2.1, com os gráficos correspondentes na Fi- gura 9.2.1. A primeira e a segunda sequências da Tabela 9.2.1 são estritamente monótonas; a terceira e a quarta sequências são monótonas, mas não estritamente monótonas; e a quinta sequência não é estritamente monótona nem monótona. 47. A sequência cujos termos são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... é cha- mada de sequência de Fibonacci em homenagem a Leonardo (“Fibonacci”) da Pisa (1170-1250). Essa sequência tem a pro- priedade de, começando com dois “1”, cada termo ser a soma dos dois precedentes. (a) Denotando a sequência por {an} e começando por a1 = 1 e a2 = 1, mostre que (b) Dê um argumento razoável para mostrar que se a se- quência {an+1/an} converge para algum limite L, então a sequência {an+2/an+1} deve convergir para o mesmo limite L. (c) Supondo que a sequência {an+1/an} convirja, mostre que o seu limite é 48. Se aceitarmos o fato de que a sequência conver- ge para o limite L = 0, então, de acordo com a Definição 9.1.2, para todo ǫ > 0, existe um inteiro positivo N tal que |an − L| = |(1/n) − 0| < ǫ quando n ≥ N. Em cada parte, en- contre o menor valor de N possível para o valor de ǫ dado (a) ǫ = 0,5 (b) ǫ = 0,1 (c) ǫ = 0,001 49. Se aceitarmos o fato de que a sequência converge para o limite L = 1, então, de acordo com a Definição 9.1.2, para todo ǫ > 0 existe um inteiro N tal que quando n ≥ N. Em cada parte, encontre o menor valor de N para o valor dado de ǫ. (a) ǫ = 0,25 (b) ǫ = 0,1 (c) ǫ = 0,001 50. Use a Definição 9.1.2 para provar que (a) a sequência converge para 0. (b) a sequência converge para 1. 51. Texto Discuta, apresentando exemplos, várias maneiras pe- las quais uma sequência pode divergir. 52. Texto Discuta a convergência da sequência {rn} consideran- do separadamente os casos |r| < 1, |r| > 1, r = 1 e r = −1. ✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 9.1 1. (a) 4; 10; 16; 2n + 2 (b) 4; 12; 20; 2n + 4 2. existe 3. (a) diverge (b) converge para 5 (c) converge para 1 (d) diverge (e) converge para (f) diverge 4. do Confronto; 12 Observe que uma sequência cres- cente não precisa ser estritamente crescente e que uma sequência de- crescente não precisa ser estritamen- te decrescente. 17\{ \frac{m}{m+2} \}_{n=1}^{\infty} 5^o termos: \frac{1}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{5}, \frac{4}{6}, \frac{5}{7}... \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} = 1 \text{ converge} 18\{ \frac{m^2}{2n+1} \}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{9}{7}, \frac{16}{9}, \frac{25}{11} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n+1} = \infty \text{ DIVERGE} 19\{ 2 \}_{n=1}^{\infty} 2, 2, 2, 2, 2 \text{ converge} 20\{ \ln \left(\frac{1}{n} \right) \}_{n=1}^{\infty} \ln 1, \ln \frac{1}{2}, \ln \frac{1}{3}, \ln \frac{1}{4}, \ln \frac{1}{5} \lim_{n\to\infty} \ln \left( \frac{1}{n} \right) = -\infty \text{ DIVERGE} 32\{ m \cdot \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n} \}_{n=1}^{\infty} 5m 1, 2\sin \frac{\pi}{2}, 3\sin \frac{\pi}{3}, 9\sin \frac{\pi}{4} \text{ e 5}\sin \frac{\pi}{5} \lim_{n\to\infty} n \cdot \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) = \lim_{n\to\infty} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{\pi}{n^2} \cos \left(\frac{\pi}{n}\right)}{-\frac{1}{n^2}} = \pi \text{ usando l'Hopital} \text{Converge} 131 \text{Verdadeiro, uma função com domínio inteiro} 132 \text{Falso , por exemplo} a_n = 1 - n \text{ e } b_n = n - 1 133 \text{Falsa, por exemplo} \text{An} = (-1)^n 34 y = f(x) = \frac{1}{x} \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0,\ \text{logo converge}\ \text{Verdadeiro} \boxed{50}\ \text{a)}\ \left\{\frac{1}{n}\right\}_{{n=1}}^\infty \left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < \varepsilon \text{se}\ n > \frac{1}{\varepsilon}\ \text{, para qualquer}\ N > \frac{1}{\varepsilon - 1} \text{b)}\ \left\{\frac{m}{m+1}\right\} \left|\frac{m}{m+1} - 1\right| = \frac{1}{m+1} < \varepsilon \text{se}\ m > \frac{1}{\varepsilon - 1}\ \text{, para qualquer}\ N > \frac{1}{\varepsilon - 1} \text{Digitalizado com CamScanner}