Exercicios Resolvidos Livro Cálculo Anton 10 Edição

Livro de Cálculo do Anton - 10ª Edição. Exercícios 15.3: 1-18. Só os ímpares. Exercícios 15.4: 1-10. Só os ímpares. Exercícios 15.5: 1-8. Exercícios 15.6: 9-19. Só os ímpares. F(X,Y) = X𝑖̂ + Y𝑗̂ Para um campo ser conservativo o rot(F) deve ser igual a 0 ∇×𝐹⃗ = 0 ∇×𝐹⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘 | | ∂X ∂Y ∂Z | | F1 F2 F3 | = rot(F) ∂F2/∂X - ∂F1/∂Y = 0 logo é conservativo encontrando a função potencial: 𝐹⃗ = (∂f/∂x, ∂f/∂y) ⇒ ∂f/∂x = X e ∂f/∂y = Y entao f = ∫x dx = x²/2 + C(Y) f = ∫y dy = y²/2 + C'(X) f = x²/2 + y²/2 + C *Na hora de encontrar a função potencial, os iguais são colocados apenas uma vez. Digitalizado com CamScanner F(X,Y) = x²y𝑖̂ + 5xy²𝑗̂ rot(F) = 5y² - x² → não conservativo F(X,Y) = (cosY + YcosX)𝑖̂ + (senx - xseny)𝑗̂ Calculando o rotacional rot(F⃗ ) = (-seny + cosx) - (-senx + cosx) rot(F) = 0 ⇒ conservativo calculando a função potencial F(X,Y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) → ∂f/∂x = cosY + ycosx ∂f/∂y = x sen x - xseny entao f = ∫(cosY + ycosx) dx = x cos(Y) + y x senx + C(Y) f = ∫(senx - xseny) dy = y senx + x cosy + C'(x) C'(Y) =0 f = x cos X + y senx + C Digitalizado com CamScanner ∫ (2x y³)dx + (5+3x²y²)dy a) C é o segmento de (1,4) até (3,1) i) Devemos parametrizar a reta Chamando A(1,4) e B(3,1) o vetor → AB = (3,1) - (1,4) = (2,-3) então: X = 1 + 2t Y = 4 - 3t t ∈ ℝ ii) Calculando os limites de t (1,4) t = 0 então 0 ≤ t ≤ 1 (3,1) t = 1 dx = 2dt dy = -3dt iii) Substituindo na integral I = ∫₀¹ [2(1+2t)(4-3t)³] 2dt + [5 + 3(4-3t)²] -3dt I = -58 b) A(1,4) C(1,1) D(3,1) segmentos dados → AC e CD I₁ I₂ i) Seguindo os mesmos passos de a C₁ → → AC = 0,-3 X = 1 Y = 4 - 3t 0 ≤ t ≤ 1 dx = 0 dy = -3 I₁ = ∫₀¹ [1 + 3(4-3t)² -3dt = -66 C₂ → → CD = (2,0) X = -1 + 2t Y = 1 1 ≤ t ≤ 2 dx = 2 dy = 0 I₂ = ∫₁² 2(2t-1)2 dt = 8 então I = I₁ + I₂ = -66 + 8 = -58 (4,0) ∫ 3y dx + 3x dy (1,2) Usando o teorema ∫ F(x,y)dv = φ(x₁,y₁) - φ(x₀,y₀) ∂(3y)/∂y = 3 e ∂(3x)/∂x = 3 Calculando F → F = ∂f/∂x, ∂f/∂y f = ∫ 3 dx = 3x + C(y) f = 3x y + C f = ∫ 3 dy = 3y + C(x) φ = 3x y então φ(x₁,y₁) = 6 φ(x₀,y₀) = 12 φ₁ - φ₀ = -6 11 \int_{(0,0)}^{(3,2)} (2xe^y)dx + (x^2e^y)dy \frac{\partial(2xe^y)}{\partial y} = 2xe^y \ e \ \frac{\partial(x^2e^y)}{\partial x} = 2xe^y \varphi = \int 2xe^y = x^2e^y Se \ \frac{\partial F_2}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial y} , \ entao \ independe \ do \ caminho \varphi(3,2) - \varphi(0,0) = | 9e^2| 133 \int_{(2,-2)}^{(-1,0)} 2xy^3 dx + 3yx^2 dy verificando \ se \ e \ conservativo \ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 6y^2x - 6xy^2 = 0 \ \rightarrow \ e \ conservativo \varphi = \int 2xy^3 dx \right[ x^2y^3 \varphi = \int 3yx^2 dy \varphi = x^2y^3 I = \varphi(-1,0) - \varphi(2,-2) = 32 155 \ F(x,y) = xy^2\hat{i} + x^2y \hat{j} \ \ \ \ \partial(3,1) \ e A(0,0) Deveremos \ verificar \ se \ o \ campo \ e \ conservativo rot(F) = 0 \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 2xy - 2xy = 0 \ \rightarrow \ e \ conservativo \int_{(0,0)}^{(3,1)} xy^2 dx + x^2y dy \ \ \ \rightarrow \ \varphi = \int xy^2 dx = \frac{x^2y^2}{2} + c(y) \int x^2y dy = \frac{x^2y^2}{2} + c'(x) c'(y) = 0 entao \ \varphi = \frac{x^2y^2}{2} \varphi(0,0) - \varphi(1,1) = w = 0 - \frac{1}{2} = \boxed{-\frac{1}{2}} 157 \ F(x,y) = ye^{xy}\hat{i} + xe^{xy}\hat{j} \ \ \ \ \partial(-1,2) \ e Q(2,0) rot(F) = e^{xy} - e^{xy} = 0 \ \rightarrow \ CONSERVATIVO \int ye^{xy} dx = e^{xy} + c(x) \right[ \varphi = e^{xy} \int xe^{xy} dy = e^{xy} + c'(y) c'(y) = 0 entao \ \varphi(2,0) - \varphi(-1,1) = w |w| = 1 - e^{-1} 35-G 1 \oint_C y^2 dx + x^2 dy \ , \ C \ e' \ um \ quadrado (0,0) n(1,0) n(1,1) n(0,1) 0 \le x \le 1 0 \le y \le 1 Teorema \ de \ GREEN \rightarrow \oint_C F_1 dx + F_2 dy = \iint_D \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} dxdy I = \int_0^1 \int_0^1 (2x - 2y) dxdy I = \int_0^1 x^2 - 2y \big|_0^1 dy = \int_0^1 1 - 2y = 0 3 \oint_C 3xy dx + 2xy dy \ , \ C \ e' \ um \ retangulo X = -2 \ \ Y = 1 X = 4 \ \ Y = 2 -2 \le x \le 4 1 \le y \le 2 \oint 3xy dx + 2xy dy = \int_1^2 \int_{-2}^{4} (2y - 3x) dx dy = 0 15 ∮_C (x \cos y) dx - (y \sin x) dy \begin{cases} 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2} \end{cases} Pelo Teorema de Green: ∮ x \cos y \, dx - y \sin x \, dy = \iint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \iint_{0}^{\frac{\pi}{2}} [-y \cos x + x \sin y] \, dx \, dy = 0 17 ∮ (x^2 - y) dx + x dy [desenho de uma circunferência] Pelo teorema de Green: ∮ (x^2 - y) dx + x \, dy = \iint_D (1 - ( -1 )) dA = 2 \iint dA \iint dA = \text{Área} então I = \pi r^2 sendo\enspace r = 2 I = 8 \pi 19 ∮_C ln(1 + y) dx - \frac{xy}{1 + y} dy onde C e o triângulo (0,0), (2,0), (0,4) Aplicando o teorema: [imagem de um triângulo no plano xy] limites: \begin{cases} 0 \leq x \leq 4 \\ 0 \leq y \leq 2 \end{cases} I = \iiint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) dx dy = \iint_0^2 \iint_0^4 -1 dx dy - \iint dA I = - A onde a área = \frac{8 \cdot 2}{2} = 8 \Rightarrow I = -8 \\ 55.5 \\ \iiint_\sigma f(x, y, z) ds = I f(x, y, z) = z^2 então: \iiint_\sigma z^2 ds = \iiint_R f(x, y, g(x, y)) \sqrt{\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 + 1 } dA \sqrt{2} \iiint_R (x^2 + y^2) dA = = \sqrt{2} \iiint_R \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2 + 1} dA = \sqrt{2} \iiint_R x^4 + y^2 dA \sqrt{2} \iiint_R x^4 + y^2 dA \rightarrow passando para cilíndrica J = r \, dr \, d\theta \begin{cases} 1 \leq y \leq 2 \\ 0 \leq \theta \leq 2\pi \end{cases} = \sqrt{2} \iiint_0^{2\pi} \iiint_0^2 r^3 \, dr \, d\theta = \frac{15}{2} \pi \sqrt{2} 12 f(x, y, z) = xy, \sigma : x + y + z = 1 \enspace que \enspace fica \enspace no \enspace 1^\circ \enspace octante então z = 1 - x - y \iiint_\sigma xy \, ds = \iiint_R xy \sqrt{3} \, dz = limites: \begin{cases} 0 \leq x \leq 1-x \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases} = \sqrt{3} \iiint_0^1 \iiint_0^{1-x} xy \, dx \, dy = \frac{\sqrt{3}}{24} 13 \iiint_\sigma x^2 \, ds \enspace , \enspace \sigma : x^2 + z^2 = 1 \enspace entre \enspace y = 0 \enspace e \enspace y = 1 \enspace \enspace acima \enspace de \enspace xy Parametrizando \enspace a \enspace curva Y(u, v) = \cos u \, \hat{i} + v \, \hat{j} + \sin u \, \hat{k} 0 \leq u \leq \pi 0 \leq v \leq 1 f(x,y,z) = x + y + z 0 <= x <= 1 0 <= y <= 1 0 <= z <= 1 tem que integrar cada face: σ1: z = 0 0 <= x <= 1 0 <= y <= 1 σ2: y = 0 0 <= x <= 1 0 <= z <= 1 σ3: x = 1 0 <= y <= 1 0 <= z <= 1 σ4: x = 0 0 <= y <= 1 0 <= z <= 1 σ5: y = 1 0 <= x <= 1 0 <= z <= 1 σ6: z = 1 0 <= x <= 1 0 <= y <= 1 Por simetria σ1 = σ2 = σ3 -> 3σ1 σ4 = σ5 = σ6 -> 3σ4 entao: ∬_σ1 (x + y + z) dS = ∬_00^11 (x + y) dx dy = 1 ∬_σ4 (x + y + z) dS = ∬_00^11 (x + y + 1) dx dy = 2 entao I = 3.1 + 3.2 = 9 18 ∬_σ x^2 y^2 dS σ: x^2 + y^2 + z^2 = a^2 passando para coordenada polar r(ϕ, θ) = a sin ϕ cos θ 𝑖 + a sin ϕ sin θ 𝑗 + a cos ϕ 𝑘 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ϕ ≤ π |r_ϕ x r_θ| = a^2 sin ϕ x^2 y^2 = a^4 sin^4 ϕ ∬ f(x, y, z) dS = ∬_0^2π ∬_0^π a^4 sin^3 ϕ dϕ dθ = 8/3 πa^4 15.6 Φ = ∬_σ F ⋅ m dS = ∬_R F ⋅ (∂r/∂u x ∂r/∂v) dA 19 F(x, y, z) = x 𝑘 σ é um quadrado 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 2 xy para cima m = k o vetor normal a xy F ⋅ m = x 𝑘 ⋅ 1k = x então: ∬_R F ⋅ m dS = ∫_0^2 ∫_0^2 x dx dy = 4 20 F(x, y, z) = 5z 𝑖 + y 𝑗 + 2x 𝑘 σ é o retângulo em z = 2 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 3 vetor normal = 𝑘 F ⋅ n = (5z, y, 2x) ⋅ (0, 0, 1) = 2x entao Φ = ∬_0^2 x^3 ∫_0^2 2x dx dy = 92 21 F(x, y, z) = x 𝑖 + y 𝑗 + 2z 𝑘 σ: z = 1 - x^2 - y^2, acima de xy para cima n = - ∂z/∂x, - ∂z/∂y, 1 F ⋅ n = (x, y, 2z) ( - 2x, - 2y, 1) Então: ∬_R [2x^2 + 2y^2 + 2(1 - x^2 - y^2)] dx dy passando para cilindrica: 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2π então: ∬_0^2π_0^1 2 r dr dθ = 2π 22 F(x, y, z) = x^2 𝑖 + (x + e^y) 𝑗 - 𝑘 σ é o retângulo: 0 ≤ x ≤ 2 y = -1 0 ≤ z ≤ 4 M̂ = - 𝑗 então F ⋅ m = (x^2, x + e^y, -1) ( - 𝑗) = - (x + e^y) ⨌R F mdS = ∫∞ 2(-x+e^x) dx dz = -8 - 8/e 13) F(x,y,z) = x î + y ĵ + 2z k̂ σ é a porcao do cone z^2 = x^2 + y^2 entre z = 1 e z = 2 m = ∂x-∂z, -∂y ∂z, 1 então ⨌R (-x^2/√(x^2+y^2) - y^2/√(x^2+y^2) + 2z) dA = ⨌R √(x^2+y^2) dA = 0 passando para coordenadas cilíndricas 1 ≤ z ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2π = ∫0 2π ∫1 2 r^2 dr dθ = 14π/3 14) F(x,y,z) = y ĵ + k σ: z = x^2 + y^2 abaixo de z = 4 ⨌R F m dS = ⨌R (2y^2 - 1) dA = ∫0 2π ∫0 2 (2r^2 mθ - 1) r dr dθ = 4π 15) F(x,y,z) = x î σ: z = x^2 + y^2 abaixo de z = y x^4 + y^2 - y = 0 ϕ = ⨌R F m dS = 0, pois a região é simétrica ao eixo Y. 17) F(x,y,z) = x î + y ĵ + k, j : ϒ(u,v) = (μ cos v, μ v, 1 - μ^2) 1 ≤ u ≤ 2 0 ≤ v ≤ 2π ϕ = ⨌R F m dS = ⨌R F (∂r/∂u x ∂r/∂v) dσ ∂r/∂u = cos v î + sin v ĵ - 2u k̂ ∂r/∂v = -u sin v î + u cos v ĵ m̂ = ∂r/∂u x ∂r/∂v = 2u^2 cos v î + 2u^2 sin v ĵ + u k̂ então: ⨌R (2u^3 + u) dA = ⨌0 2π ∫1 2 (2u^2 + u) du dv = (18π) 19) F(x,y,z) = √(x^2 + y^2) ϒ(u,v) = u cos v î + u sin v ĵ + 2u ∂r/∂u = (cos v, sin v, 2) ∂r/∂v = (-u sin v, u cos v) (∂r/∂u x ∂r/∂v) = (-2u cos v, -2u cos v, u) então ⨌R u^2 dA = ⨌0 π ∫0 u^2 du dv = 4/9