Regime de Capitalização Composto: Conceitos e Exemplos

Tema 1 Regime de Capitalização Composto O que significa regime de capitalização composto Conhecer os princípios da Matemática Financeira é uma necessidade para o nosso dia a dia seja na vida profissional ou pessoal Todos nós utilizamos cheques especiais aplicações financeiras financiamentos habitacionais operações de empréstimos cartões de crédito etc Tais produtos financeiros possuem uma característica em comum utilizam o regime de capitalização composto Vamos agora compreender este regime Regime de Capitalização Composto O conceito de regime de capitalização composto O regime de capitalização composto é o mais utilizado no sistema financeiro sendo largamente aplicado pelas instituições financeiras e no cálculo econômico em geral Neste regime os juros calculados em um determinado período são incorporados ao principal e passam a fazer parte da base para o cálculo dos juros no período seguinte É o que comumente chamamos de juros sobre juros Um bom modo de ilustrar este tipo de capitalização é através de um exemplo Uma pessoa aplicou seu capital de R 100000 a uma taxa de 5 am i 005 am durante dez meses Vamos montar uma planilha detalhando o que ocorreu em cada mês Mês n Valor Presente P Juros J P i Valor Final F n P J 1 100000 100000 005 5000 105000 2 105000 105000 005 5250 110250 3 110250 110250 005 5513 115763 4 115763 115763 005 5788 121551 5 121551 121551 005 6078 127628 6 127628 127628 005 6381 134010 7 134010 134010 005 6700 140710 8 140710 140710 005 7036 147746 9 147746 147746 005 7387 155133 10 155133 155133 005 7757 162889 Como você pode verificar na tabela acima os juros determinados no período 1 R 5000 foram incorporados ao valor presente do período 2 e utilizados no cálculo dos juros deste período Este mesmo procedimento foi aplicado a todos os demais períodos de cálculo No total foram recebidos R 62889 de juros pela aplicação Comparação entre os conceitos de regime de capitalização simples e composto Note que o conceito acima torna o regime de capitalização composto diferente do regime de capitalização simples Compare os resultados obtidos na tabela acima com aqueles calculados em uma tabela semelhante na Aula 2 da unidade anterior Regime de Capitalização Simples Mês n Valor Presente P Juros J P 1 i Montante F n P J 1 100000 100000 005 5000 105000 2 105000 100000 005 5000 110000 3 110000 100000 005 5000 115000 4 115000 100000 005 5000 120000 5 120000 100000 005 5000 125000 6 125000 100000 005 5000 130000 7 130000 100000 005 5000 135000 8 135000 100000 005 5000 140000 9 140000 100000 005 5000 145000 10 145000 100000 005 5000 150000 Regime de Capitalização Composto Mês n Valor Presente P Juros J P 1 i Montante F n P J 1 100000 100000 005 5000 10500 2 105000 105000 005 5250 11025 3 110250 110250 005 5513 11576 4 115763 115763 005 5788 12155 5 121551 121551 005 6078 12763 6 127628 127628 005 6381 13401 7 134010 134010 005 6700 14071 8 140710 140710 005 7036 14775 9 147746 147746 005 7387 15513 10 155133 155133 005 7757 16289 Como você pode observar no regime de capitalização simples os juros são sempre calculados sobre o valor originalmente aplicado rendendo um total de R 50000 de juros ao aplicador Já no regime de capitalização composto os juros de cada período são incorporados ao capital e também passam a render juros Nesta situação o aplicador recebe R 62889 de juros um valor substancialmente maior que no regime anterior Mas atenção Quando o prazo n é igual a 1 o rendimento de ambos os regimes será o mesmo neste caso R 5000 E este efeito não será o mesmo se o prazo n for inferior a 1 Observe a partir do mesmo exemplo Se a aplicação for em um período de 15 dia n 15 dias 05 mês Aplicando Juros Simples J P i n 1000 005 05 R 2500 Juros Compostos J P1 in 1 P1 in 1 10001 00505 1 R 2469 Mecanismo do Regime de Capitalização Composto Como operacionalizamos matematicamente o regime de capitalização composto Observe atentamente as relações entre valor presente P valor futuro F n taxa de juros i e tempo n e como cada uma destas variáveis pode ser calculada a partir das demais Resumidamente nosso livrotexto nos apresenta as seguintes fórmulas sobre o interrelacionamento de P F n i e n Como você pode notar as fórmulas acima lançam mão de diversas operações matemáticas dentre as quais podemos citar potenciação radiciação e logaritmo neperiano Vamos fazer agora um pequeno intervalo para relembrar cada uma dessas operações Intervalo Matemático A Matemática Financeira como o próprio nome indica é um ramo da matemática Este intervalo irá apresentar alguns conceitos matemáticos importantes para o estudo do regime de capitalização composto potenciação radiciação e logaritmo CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS Vamos voltar agora a falar do regime de capitalização composto e a partir do que aprendemos sobre potenciação radiciação e logaritmos fazer alguns exemplos de cálculos financeiros utilizando as fórmulas de P F n i e n anteriormente apresentadas Exemplo 1 Determine o valor futuro e os juros de um capital de R 500000 aplicado durante 10 meses a uma taxa de 15 am juros compostos A partir dos dados do problema P R 500000 i 15 am 0015 lembrese de passar a taxa de juros para o formato decimal n 10 meses F n J Lembrando as fórmulas de F n e J anteriormente vistas teremos Fn P 1 i n 5000 1 0015 10 5000 1015 10 5000 11605 580270 J P 1 i n 1 5000 1 0015 10 1 5000 101510 1 500011605 1 5000 01605 80270 Deste modo o valor futuro e os juros recebidos serão respectivamente R 580270 e R 80270 Exemplo 2 Determine a taxa mensal de juros compostos que deve ser aplicada a um capital de R 1000000 durante 15 meses de forma que ao final o valor deste capital se eleve a R 1400000 A partir dos dados do problema P R 1000000 i n 15 meses F n R 1400000 Lembrando as fórmulas de F n e J anteriormente vistas teremos i F n P 1 n 1 14000 10000 1 15 1 10227 1 0227 Deste modo a taxa de juros composta mensal será de 00227 ao mês que passando para a forma de porcentagem corresponde a 227 am Exemplo 3 Determine quantos anos um capital deve ficar aplicado a uma taxa de juros de 6 ao ano para que seu valor passe de R 700000 para R 1400000 A partir dos dados do problema P R 700000 i 6 aa 006 n F n R 1400000 Lembrando a fórmula do número de períodos teremos Deste modo levará 1190 anos ou 11 anos e 11 meses para que o capital dobre à taxa de 6 ao ano Desconto Composto Anteriormente estudamos o que era um desconto uma dedução dada no valor nominal de um título motivado por seu resgate antecipado Aprendemos ainda a determinar o desconto no regime de capitalização simples Analogamente ao que vimos anteriormente existem duas formas de desconto sob o regime de capitalização composto Desconto composto comercial Desconto composto racional Desconto composto comercial No desconto composto comercial também chamado de desconto bancário ou simplesmente desconto comercial aplicase uma taxa de desconto composto d diretamente sobre o valor nominal do título N obtendose assim o valor atual do título Vc conforme abaixo mostrado Vc N 1 d n Note que a taxa de desconto pode ser aplicada por n períodos o que justifica o termo 1 d n Veja a figura abaixo para entender o que se passa O valor do desconto Dc será dado por D c N V c N N 1 d n D c N1 1 d n Exemplo 1 Uma pessoa resgatou um título de R 1000000 com prazo de 6 meses recebendo R 800000 Qual a taxa de desconto composto comercial mensal utilizada nesta operação Nesta situação teremos N 1000000 V c 800000 n 6 meses d Aplicando a fórmula do valor atual do título teremos Vc N 1 d n 8000 100001 d6 1 d 6 08 1 d 08 16 09635 d 00365 Logo a taxa de desconto comercial composto foi de 365 Exemplo 2 Uma pessoa deseja resgatar um título com valor nominal de R 500000 com prazo de 4 meses O banco oferece uma taxa de desconto de 2 am desconto composto comercial Qual o valor do desconto Qual o valor final recebido pelo cliente Aplicando a fórmula do valor do desconto comercial teremos D c N 1 1 d n 5000 1 1 002 4 5000 1 0984 5000 1 09224 5000 00776 38816 Deste modo o valor do desconto comercial será Dc R 38816 O cliente receberá V c N D c 5000 38816 V c R 461184 Desconto composto racional No desconto composto racional o sentido da operação é inverso isto é aplicase ao valor atual do título V r uma taxa de juros compostos i que resulte no valor nominal do título N conforme abaixo mostrado V r N 1 i n Note que a taxa de juros pode ser aplicada por n períodos o que justifica o termo 1 d n Veja a figura abaixo para entender o que se passa O valor do desconto composto racional D r será dado por D r N V r N N 1 i n D r N1 1 i n Exemplo 1 Uma pessoa resgatou um título de R 1000000 com prazo de 6 meses recebendo R 800000 Qual a taxa de desconto composto racional mensal utilizada nesta operação Nesta situação teremos N 1000000 V r 800000 n 6 meses d Aplicando a fórmula do valor atual do título teremos V r N 1 i n 8000 100001 i 6 1 i 6 08 1 i 08 16 10379 i 00379 Logo a taxa de desconto comercial composto foi de 379 Exemplo 2 Uma pessoa deseja resgatar um título com valor nominal de R 500000 com prazo de 4 meses O banco oferece uma taxa de desconto de 2 am desconto composto racional Qual o valor do desconto Qual o valor final recebido pelo cliente Aplicando a fórmula do valor do desconto racional teremos D r N 1 1 i n 5000 1 1 002 4 5000 1 102 4 5000 1 09238 5000 00762 38077 D c N1 1 d n 5000 1 1 002 4 5000 1 0984 5000 1 09224 5000 00776 38816 Deste modo o valor do desconto comercial será D c R 38077 O cliente receberá V c N D c 5000 38077 V c R 461923