Matemática Financeira - Sistemas de Amortização Francês e Tabela Price

Matemática Financeira Erisson M Moreira 04 J Compostos Empréstimos Sistema de Amortização Francês Tabela Price 1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS SAF No Sistema de Amortização Francês a amortização da dívida é feita através de prestações constantes e periódicas A dívida SD0 contraída no financiamento corresponde ao Principal valor atual de uma renda imediata P Ou seja SDo P Assim temos P Prestação PRT X Fator de amortização a n i Ou seja 2 CÁLCULO DO VALOR DA PRESTAÇÃO ou Em que PRT é o valor da prestação SD0 é o valor da dívida e o denominador é o fator de amortização Exemplo 01 Uma instituição financeira faz um empréstimo de R 40000 para ser pago pelo Sistema de Amortização Francês SAF em 4 prestações anuais postecipadas a juros efetivos de 12 ao ano a Calcule o valor da prestação b Monte a planilha de amortização Resolução SDo 40000 n 4 anos i 12 aa a Prestação a prestação será PRT 1316920 b Procedimento para a montagem da planilha onde Ji é o juro contido na prestação Ai é a cota de amortização SDi é o saldo devedor 1 o período 1 o ano J1 i SDo 012 40000 J1 480000 A1 PRT J1 1316920 480000 A1 836920 SD1 SDo A1 40000 836920 SD1 3163080 2 o ano J2 i SD1 012 3163080 J2 379570 A2 PRT J2 1316920 379570 A2 937350 SD2 SD1 A2 3163080 937350 SD2 2225730 3 o ano J3 i SD2 012 2225730 J3 267088 A3 PRT J3 1316920 267088 A3 1049832 SD3 SD2 A3 2225730 1049832 SD3 1175898 4 o ano J4 i SD3 012 1175898 J4 141108 A4 PRT J4 1316920 141108 A4 1175812 SD4 SD3 A4 1175898 1175812 SD4 086 OBS A diferença de R 086 existente entre o saldo devedor e a última cota de amortização resulta das diversas aproximações realizadas O saldo devedor nulo será obtido fazendo um pequeno acerto na última prestação Acerto PRT 1316920 086 PRT 1317006 Logo A4 1317006 141108 A4 1175898 SD4 1175898 1175898 SD4 000 Desta forma chegamos a seguinte planilha de amortização Per k Saldo Dev Amortiz Juros Prestação 0 4000000 1 3163080 836920 480000 1316920 2 2225730 937350 379570 1316920 3 1175898 1049832 267088 1316920 4 086 1175812 141108 1316920 Acerto 000 1175898 141108 1317006 Total 4000000 1267766 5267766 OBS A soma das prestações deverá ser igual à soma do total das amortizações mais os juros 5267766 40000 1267766 3 CÁLCULO DO SALDO DEVEDOR DO SAF Em alguns casos necessitaremos saber a situação do cronograma financeiro em um determinado momento do financiamento Assim podemos obter uma expressão que permita determinar o saldo devedor na época desejada Considerando uma determinada dívida P SD0 financiada em n prestações PRT a uma taxa i em um determinado período k temos Exemplo 02 Tomandose o exemplo 01 anterior podemos determinar o saldo devedor para o terceiro período do financiamento Resolução SDo 40000 n 4 ano i 012 aa e k 3 Como a prestação já foi calculada temos PRT 1316920 SD3 1175825 4 TABELA PRICE SAF A Tabela Price ou Sistema Price em homenagem ao inglês Richard Price é basicamente um caso particular do Sistema de Amortização Francês com as seguintes características a A taxa de juros é na prática uma taxa anual porém é usualmente dada em termos nominais b As prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa amortizações pagas em base mensal c O cálculo das prestações é realizado usandose a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação obtida a partir da taxa nominal 04A APLICAÇÃO EXERCÍCIO RESOLVIDO Um banco emprestou R 60000 para ser pago pela Tabela Price SAF em 5 prestações mensais à taxa de juros nominal de 12 ao ano com capitalização mensal Construir a planilha de amortização Resolução SDo 60000 n 5 me i 012 aa Sendo os juros mediante a tabela price implica que a taxa de juros no período mensal será a taxa efetiva mensal obtida de forma proporcional a partir da taxa nominal ou seja Taxa efetiva 001 am ou 1 am Prestação PRT 1236230 Planilha de Amortização Tabela Price Per k Saldo Dev Amortiz Juros Prestação 0 60000 1 4823770 1176230 60000 1236230 2 3635778 1187992 48238 1236230 3 2435906 1199872 36358 1236230 4 1224035 1211871 24359 1236230 5 045 1223990 12240 1236230 Acerto 000 1224035 12240 1236275 Total 60000 181195 6181195 OBS foi feito um pequeno acerto na última prestação para zerar o saldo residual proveniente de arredondamentos A soma das prestações é igual à soma do total das amortizações mais os juros 6181195 60000 181195 04B J Compostos Empréstimos Sistema de Amortização Constante 1 Sistema de Amortização Constante SAC O Sistema de Amortização Constante SAC foi introduzido no Brasil pelo Sistema Financeiro da Habitação a partir do ano de 1971 São características deste sistema a o mutuário paga a dívida em prestações periódicas b as prestações englobam juros e amortizações c a amortização é constante em todos os períodos d as prestações são decrescentes 2 Cálculo do valor da amortização A Como as prestações são decrescentes em razão dos juros serem determinados sobre o saldo devedor e a amortização ser constante podemos escrever Em que A é a amortização constante SD0 é o principal da dívida saldo devedor inicial n é o período de financiamento Exemplo Uma instituição financeira faz um empréstimo de R 40000 para ser pago pelo Sistema de Amortização Constante SAC em 4 prestações anuais à taxa de 12 ao ano c Calcule o valor da amortização d Monte a Planilha de Amortização Resolução Temos P SDo 40000 n 4 anos i 12 aa 012 aa PRT prestação a Cálculo do valor da amortização b Procedimento para a montagem da planilha 1 o Período 1 o Período J1 i Do 012 40000 J1 4800 PRT1 A J1 10000 4800 PRT1 14800 SD1 SDo A 40000 10000 SD1 30000 2 o Período J2 i SD1 012 30000 J2 3600 PRT2 A J2 10000 3600 PRT2 13600 SD2 D1 A 30000 10000 SD2 20000 3 o Período J3 i SD2 012 20000 J3 2400 PRT3 A J3 10000 2400 PRT3 12400 SD3 SD2 A 20000 10000 SD3 10000 4 o Período J4 i SD3 012 10000 J4 1200 PRT4 A j4 10000 1200 PRT4 11200 SD4 SD3 A 10000 10000 SD4 00 Dessa forma chegamos a seguinte planilha Per k Saldo Dev Amortiz Juros Prestação 0 40000 1 30000 10000 4800 14800 2 20000 10000 3600 13600 3 10000 10000 2400 12400 4 00 10000 1200 11200 Total 40000 12000 52000 OBS A soma das prestações deverá ser igual à soma do total das amortizações mais os juros 52000 40000 12000 04C APLICAÇÃO EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma financeira faz um empréstimo de R 100000 para ser pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações anuais à taxa de 15 ao ano a Calcule o valor da amortização b Faça os cálculos por período e monte a planilha de amortização Resolução Do 100000 Temos n 4 anos i 15 aa 015 aa V prestação a Cálculo do valor da amortização b Procedimento para a montagem da planilha 1 o Período j1 i Do 015 100000 j1 15000 V1 A j1 25000 15000 V1 40000 D1 Do A 100000 25000 D1 75000 2 o Período j2 i D1 015 75000 j2 11250 V2 A j2 25000 11250 V2 36250 D2 D1 A 75000 25000 D2 50000 3 o Período j3 i D2 015 50000 j3 7500 V3 A j3 25000 7500 V3 32500 D3 D2 A 50000 25000 D3 25000 4 o Período j4 i D3 015 25000 j4 3750 V4 A j4 25000 3750 V4 28750 D4 D3 A 25000 25000 D4 000 Planilha de amortização do SAC Per k Saldo Dev Amortiz Juros Prestação 0 100000 1 75000 25000 15000 40000 2 50000 25000 11250 36250 3 25000 25000 7500 32500 4 000 25000 3750 28750 Total 100000 37500 137500 A soma das prestações deverá ser igual à soma do total das amortizações mais os juros Logo 137500 100000 37500